¿El total de la variación de una función unía a su integración numérica de error, al igual que su primera derivada?

Question

Cuando la estimación de la convergencia de una suma de Riemann para su integral, o, equivalentemente, el error en la integración numérica, la que comúnmente se utiliza límite superior de delimitación es la primera derivada (ver, por ejemplo, la sección en la wikipedia).

Específicamente, la desigualdad

$\left| \int_a^b f(x)\,dx - (b - a) f(a) \right| \leq {(b - a)^2 \over 2} \sup_{a \leq x \leq b} \left| f'(x) \right|$

implica que el error de $E_{n}$ $n$ plazo de la suma de Riemann es delimitada por

$E_n \leq \frac{1}{2n}\sup_{0 \leq x \leq 1} \left| f'(x) \right|$

Sin embargo, este es aparentemente pobre si el máximo de la derivada primera es muy alcanzó su punto máximo. Un suave paso de la función, por ejemplo, sería de suma de Riemann convergen más rápido que el obligado sugiere considerar por separado los subconjuntos del dominio donde la primera derivada es grande y pequeño, y añadir los errores juntos. En la antigua subconjunto puede utilizar un pequeño máximo de la derivada.

Mi pregunta es acerca de la mejora de este uso de la variación total de la función $f$ en lugar de la derivada. Intuitivamente, si la función tiene gran derivados --- pero sólo brevemente, como el paso de la función --- entonces esto debe ser evidente a partir de su variación total. Es un obligado posible?

Answer 1

Si $m \le f \le M$ en $[a,b]$, $m(b-a) \le \int_a^b f(x) \ dx \le M(b-a)$, y $(b-a) f(t)$ satisface los mismos límites para cualquier $t \in [a,b]$. Por lo tanto $|\int_a^b f(x)\ dx - (b-a) f(t)| \le (M-m)(b-a) \le (b-a) V_a^b(f)$. La adición de este para $n$ intervalos de $[a_{j-1},a_j]$ en una suma de Riemann obtenemos $$E_n \le \frac{b-a}{n} \sum_{j=1}^n V_{a_{j-1}}^{a_j}(f) = \frac{b-a}{n} V_a^b(f)$$