Significado de cerrado puntos de un esquema de

Question

Esta es una pregunta en Liu libro.

Deje $X$ ser un cuasi-sistema compacto. Mostrar que $X$ contiene un punto cerrado.

Bueno, yo soy incapaz de hacer esta pregunta, por lo que cualquier ayuda se agradece. Esta pregunta también me hace curioso para saber sobre el significado/uso de cerrado puntos de un esquema en general - por que me refiero a un esquema que no es una variedad algebraica/esquema local de más de un campo, que tiene un sentido geométrico. Gracias!

Answer 1

Kevin Lin respuesta sobre el significado de cerrado de puntos es bastante razonable, especialy en el caso de que el régimen en cuestión subyace en un clásico de la variedad. Quiero añadir algunos comentarios y ejemplos para pensar la más general de los esquemas.

Aquí están algunos tautológica observaciones: recordemos que un punto x en un esquema de X se llama una especialización de y si x se encuentra en el cierre de Zariski de y (y y es llamado una generalización de x). Así tautologically, una cerrada puntos es el que no especializados (como un punto genérico no se puede generalizar cualquier otra). ¿Qué especialización realmente significa: anillo en teoría, esto significa tomar la imagen con un homomorphism; de modo que si p y q son primos los ideales de un anillo A, entonces p es una especialización de p en la Especificación de Un si y sólo si p contiene a p, es decir, si Un/p surjects a A/q. Tal vez es mejor pensar en un ejemplo: digamos que Una es C[x,y], p es el primer ideal gen d por (x-1) y q es el primer (en realidad la máxima ideal) gn d por (x-1,y). A continuación, en el A/p, se han "especializado" el valor de x es igual a 1 (porque tenemos declaró x-1 = 0) pero y es todavía una variable libre. Cuando pasamos a la mayor cociente A/p, nos hemos especializado tanto en x y y: x es una empresa especializada para 1 y y está especializada en 0. En este punto, no podemos especializan más; técnicamente, esto es debido a que p es un ideal maximal de A, así que un punto cerrado de Spec A, de manera intuitiva, es porque ambos x e y han sido "especializados" para los números reales, y por lo que no puede especializarse más.

Pero supongamos que ahora tenemos el conjunto B = Z[x,y], y tomar p y q para ser el mismo, es decir, gen había por x-1 y por (x-1,y), respectivamente. Entonces q es no maximal; hay más capacidad para la especialización. ¿Cómo es esto? Bien, x e y son ahora toma los valores de Z (en lugar de en el campo C) y así también podemos reducir tanto x e y modulo algunos de los mejores, por ejemplo, 5; esto da un primer ideal r = (x-1,y,5) en la B, con q. Ahora r es máxima, y por lo que estamos hecho especializada.

Así que si usted tiene un plan que es finito tipo Z, el cierre de los puntos que corresponden a "real de puntos", en su terminología, sino que se define sobre campos finitos. Los puntos del esquema cuyas coordenadas son números enteros, dicen, no se cierra. Uno tiene la opción de pensar en ellos de ellos como "real de puntos" que, sin embargo, puede ser especializado aún más mediante la reducción del modulo de los números primos, o como subvariedades en lugar de "real de puntos", mediante la identificación de ellos con sus cierres de Zariski (para una imagen de esto, vea el dibujo de Mumford que Kevin enlaces).

Answer 2

Cerrado puntos deben ser considerados como "verdaderos puntos", mientras que los no-cerrado puntos pueden corresponder a todo tipo de cosas diferentes: subvariedades, "grasa" o "borrosa" puntos genéricos, puntos, etc. Usted podría estar interesado en la lectura de esta entrada de blog acerca de Mumford del dibujo de $\operatorname{Spec} \mathbb{Z}[x]$.

Una posible vía para justificar la afirmación de que los puntos cercanos son el de "real" puntos es el hecho de que si tenemos, por ejemplo, una variedad lisa de más de $\mathbb{C}$, entonces su analytification será un complejo colector. Los puntos cercanos de la ex continuación, corresponden exactamente a los puntos de la última.

Answer 3

El lema de Zorn implica que hay una mínima vacía conjunto cerrado $F \subset X$ sin el adecuado subconjuntos cerrados (porque el cerrado de los juegos de la intersección finita de la propiedad en vista de cuasi-compacidad). Es suficiente encontrar un punto de cierre en $F$. Ahora $F$ es en sí mismo un sistema, y se ha abierto un subconjunto $U=\mathrm{Spec}\, A$ $A$ un anillo. Este debe ser todos los de $F$ por minimality. Un ideal maximal en $A$ da un punto de cierre en $F$, por lo tanto, en $X$.

Hay gente aquí que podría dar una mejor respuesta a tu otra pregunta, así que voy a dejar.