Prueba de $\frac{1}{2}\cdot\frac{3}{4}\cdot\frac {5}{6}\dots$ es cero

Question

Me gustaría una prueba de que $$ \lim\limits_{ n\to \infty }\prod_{i=1}^n\frac{2i-1}{2i}= 0 $$

Parece razonable, aunque los términos enfoque de $1$

Gracias de antemano

Answer 1

$$\prod_{n=1}^{N}\left(1-\frac{1}{2n}\right)=\exp\sum_{n=1}^{N}\log\left(1-\frac{1}{2n}\right)\leq\exp\left(-\frac{H_N}{2}\right)\leq\frac{1}{\sqrt{N+1}}.$$

Answer 2

Quiero dar un elemental de la prueba por demostrar la siguiente desigualdad. $$\prod_{i=1}^n\frac{2i-1}{2i}<\frac{1}{\sqrt{2n+1}}.$$ Esto puede ser demostrado por $$ \frac{2i-1}{2}<\frac{\sqrt{2i-1}}{\sqrt{2i+1}}, $$ que es fácil.

Answer 3

Sugerencia de Tomar un registro y uso de la desigualdad de $\ln(1+x)\le x$, por lo que $$\ln \prod_{k=1}^n\frac{2k-1}{2k}=\sum_{k=1}^n\ln \frac{2k-1}{2k}\le -H_n.$$

Answer 4

En general, si $0<x_n<1$ $x_n\to 0$ $\sum x_n$ diverge, entonces $$\lim_{N\to\infty} \prod_{n=1}^N (1-x_n) = 0$$

En este caso,$x_n=\frac{1}{2n}$.

Answer 5

Me pregunto si este enfoque es correcto:

Definir $X_n = \prod_{i=1}^n \frac{2i-1}{2i}$. A continuación,$log(X_n) = log(1) - log(2) + log(3) - log(4) + \ldots + log(n-1) - log(n)$. Por definición, siempre acaba con los términos de $log(n-1) - log(n)$, con lo que escribimos

\begin{eqnarray} log(X_N) &=& \left(\vphantom{x^2}log(1) - log(2)\right) + \left(\vphantom{x^2}log(3) - log(4)\right) + \ldots + \left(\vphantom{x^2}log(n-1) - log(n)\right) \end{eqnarray}

y ya $$ 1 < \frac{log(n-3) - log(n-2)}{log(n-1) - log(n)} \leq 2.41 \; \; \; $$

los términos se suman a $-\infty$ si $n \rightarrow \infty$ y por definición de la $log$

\begin{eqnarray} log(X_n) &=& -\infty\\ X_n &=& 0. \end{eqnarray}