¿Continuo y acotado implican continuidad uniforme?

Question

Estoy pensando en esto desde hace un par de horas. Es una función continua y acotada $f:\mathbb R\to\mathbb R$ ¿también uniforme continuo? No he encontrado un contraejemplo y por eso he intentado demostrarlo así: dejemos que $\epsilon>0$ y $a\in\mathbb R$ . Por continuidad, hay un $\delta_a>0$ tal que $$d(f(x),f(y))<d(f(x),f(a))+d(f(y),f(a))<\epsilon$$ si $d(x,y)\leq d(x,a)+d(y,a)<\delta_a.$ Entonces, si $\inf_a\delta_a>0$ He puesto $\delta=\inf_a\delta_a$ y hemos terminado ya que $d(f(x),f(y))<\epsilon$ si $d(x,y)<\delta,$ pero no tuve éxito en probar que $\delta\neq 0$ .

Answer 1

Considere $\sin(x^2)$ . Es continua y acotada pero no uniformemente continua. Esto se debe a que podemos encontrar valores arbitrariamente pequeños $\gamma$ para que $f(a)=-1$ y $f(a+\gamma)=1$ . En otras palabras, si $\epsilon=1$ no podemos encontrar un $\delta$ .

Esto se debe a que la función oscila cada vez más rápido a medida que $|x|$ crece.

Por otro lado lo que es cierto es que una función continua $f:[a,b]\rightarrow \mathbb R$ es uniformemente continua.