Triple integral sobre un elipsoide

Question

Deje $E$ sólido elipsoide $E = ${$(x,y,z)$ | $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} + \frac{z^2}{c^2} \le 1$} donde $a > 0,\: b > 0,\: c > 0$

Evaluar $\int\int \int xyz\: dxdydz$ más de:

una. todo el elipsoide

b. de que parte de ella en el primer cuadrante, $x \ge 0,\: y \ge 0,\: z \ge 0$

Así que para la primera parte, me hizo el cambio de variables $u = \frac{x}{a}$, $v = \frac{y}{b}$, $w = \frac{z}{c}$. La elipse se convirtió en una esfera. Luego hice otro cambio de variables a coordenadas esféricas. He encontrado que la integral se evalúa a $$\frac{-2\pi*a^2b^2c^2}{9}$$

Ahora no estoy seguro acerca de la parte b.) Desde que me cambie el elipsoide en una unidad de la esfera, ¿ acabo de cambiar los límites de lo que está en el primer cuadrante (es decir, theta rangos de 0 a $\frac{\pi}{2}$ en lugar de un 0 a $2\pi$), a continuación, integrar la misma manera que lo hice en un.)?

(También, si alguien puede revisar mi respuesta para un.) eso sería genial. Tengo un examen que viene y estoy débil en esta área. ¡Gracias!)

Answer 1

Usted debería haber recibido $0$ como la respuesta para la primera parte. Desde $xyz$ es impar w.r.t. $x$ y el elipsoide es simétrico con respecto al plano de $x = 0$, la integral sobre todo el elipsoide es $0$. Nota este argumento también se puede utilizar si el integrando es impar w.r.t. $y$ o $z$ y la región es simétrica a la de los aviones de $y = 0$ $z = 0$respectivamente.

Para la segunda parte, tenga en cuenta que $xyz > 0$ sobre la parte del elipsoide en el primer octante, por lo que la integral debe evaluar a algo positivo.

Asegurate de sus límites. El primer octante tiene límites de $0 \le \theta \le \dfrac{\pi}{2}$$0 \le \phi \le \dfrac{\pi}{2}$.