Un límite y una función delta en una integral.

Question

Digamos que yo quiero para calcular la integral $$\begin{equation} \lim_{\gamma\to0}\frac{1}{2\pi i}\int^\infty_{-\infty}dx\left(\frac{1}{x-a+i\gamma}-\frac{1}{x-a-i\gamma}\right)\frac{-1}{e^x+1}, \end{equation}$$ ($a\in\mathbb{R}$) y alguien me dice que la relación $$\begin{equation} \frac{1}{\pi}\lim_{\gamma\to0}\frac{\gamma}{x^2+\gamma^2}=\delta(x) \end{equation}$$ podría ser útil. La reescritura de las fracciones en el integrando puedo escribir la integral como $$\begin{equation} \lim_{\gamma\to0}\frac{1}{\pi}\int^\infty_{-\infty}dx\,\frac{\gamma}{(x-a)^2+\gamma^2}\frac{1}{e^x+1}, \end{equation}$$ y estar dispuesto a usar la relación yo podría seguir escribiendo $$\begin{equation} \int^\infty_{-\infty}\frac{1}{\pi}\lim_{\gamma\to0}\frac{\gamma}{x^2+\gamma^2}\frac{1}{e^x+1}=\frac{1}{e^a+1}, \end{equation}$$ y ser feliz, porque esta es la respuesta que se supone que vamos a encontrar. Sin embargo, no estoy seguro de por qué esto funciona de esta manera (si lo hace). Sé que si se intercambian los límites y las integrales puede ser un negocio delicado, y si se puede tirar el límite interior de la integral de aquí, entonces lo que está mal con la escritura $$\begin{equation} \lim_{\gamma\to0}\left(\frac{1}{x-a+i\gamma}-\frac{1}{x-a-i\gamma}\right)=\frac{1}{x-a}-\frac{1}{x-a}=0? \end{equation}$$ Yo sería feliz con cualquier ayuda!

Answer 1

Hay una variedad de maneras para hacer los detalles precisos, y la teoría tiene una serie de torpes puntos, pero aquí es un boceto de cómo las cosas van normalmente. Ver wikipedia para obtener más detalles.

Hay algo de álgebra $\mathcal{T}$ de las "funciones de prueba", que incluye las $-\frac{1}{e^x + 1}$.

Hay algún espacio $\mathcal{F}$ de las funciones con el proprerty que, para cada $f \in \mathcal{F}$, podemos definir un funcional lineal

$$I_f : \mathcal{T} \to \mathbb{C} : t \mapsto \int_{-\infty}^{\infty} f(x) t(x) \, \mathrm{d} x$$

y siempre $f \neq g$, existe una función de prueba de $t$ tal que $I_f(t) \neq I_g(t)$.

Por último, hay algunas espacio dual $\mathcal{T}^*$ que consta de todos los funcionales lineales en $\mathcal{T}$ de un tipo apropiado.

Lo que sucede es que si tenemos una familia $f_\gamma$ de las funciones en $\mathcal{F}$, se puede calcular

$$\lim_{\gamma \to 0} \int_{-\infty}^{\infty} f_\gamma(x) t(x) \, \mathrm{d}x = \lim_{\gamma \to 0} I_{f_\gamma}(t)$$

Ahora, por cada $g \in \mathcal{F}$,$I_g \in \mathcal{T}^*$. El tipo de espacio dual utilizamos es seleccionada de tal manera que la evaluación es continua; es decir, podemos calcular el anterior calculando primero el límite en $\mathcal{T}^*$:

$$\lim_{\gamma \to 0} I_{f_\gamma}(t) = \left( \lim_{\gamma \to 0} I_{f_\gamma} \right)(t)$$

Lo que se dijo es que si ponemos en $$f_\gamma(x) = \frac{\gamma}{x^2 + \gamma^2}$$ entonces $$\frac{1}{\pi} \lim_{\gamma \to 0} I_{f_\gamma} = \delta$$

y para poner todo junto da

$$\lim_{\gamma \to 0} \int_{-\infty}^{\infty} f_\gamma(x) t(x) \, \mathrm{d}x = \pi t(0)$$ para cada función de prueba de $t$.