La prueba de la infinitud de los números primos mediante la irracionalidad de π

Question

De acuerdo a la sección de Prueba utilizando la irracionalidad de la $\pi$ de la Wikipedia artículo sobre Euclides del teorema de Euler demostró que:

$$\frac{\pi}{4}=\frac34\cdot\frac54\cdot\frac78\cdot\frac{11}{12}\cdot\frac{13}{12}\cdots$$

donde "cada denominador es el múltiplo de cuatro más cercano para el numerador". Por favor alguien puede explicar esta fórmula? Yo lo veo, pero no lo puedo creer.

Answer 1

La fórmula que se describe aquí (estoy teniendo un tiempo difícil encontrar un mayor autoridad de referencia); brevemente, el OP del producto en el producto habitual de la notación va como

$$\frac{\pi}{4}=\prod_{k=2}^\infty \frac{p_k}{p_k-\chi(p_k)}$$

donde $p_k$ $k$- th el primer y el $\chi(n)$ es un personaje definido como

$$\chi(n)=\begin{cases}1&\text{if }n\equiv 1\pmod 4\\-1&\text{if }n\equiv 3\pmod 4\end{cases}$$

Como se señaló, la derivación se realiza mediante el tratamiento de los habituales de la serie de Leibniz

$$\frac{\pi}{4}=\sum_{k=1}^\infty \frac{(-1)^{k-1}}{2k-1}$$

como una de Dirichlet de la serie, y luego la expansión de esa serie como un producto de Euler.

Edición: Daniel ha dado otro buen enlace en los comentarios.