Se dice que cada número entero positivo se puede escribir como un producto de números primos. Desde $1$ no es un primo lo que es el producto de la $2$? Es $2$? Pero entonces no sería un producto.
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Mr. Brooks
Puntos
639
Soy tan viejo que yo estaba realmente se enseña como un niño que $1$ es un número primo. No, y aunque yo tenía un sentimiento subconsciente me había enseñado incorrectamente, pasaron las décadas antes de que en realidad yo entendía.
Como usted ya sabe, $6 = 2 \times 3$ es el producto de dos números primos. Por el camino de $3 \times 2$ no es distinta de la factorización. Estamos de acuerdo en que la reordenación de los factores primos de no cambiar la factorización, aunque estamos de acuerdo para escribir los números primos en orden ascendente.
Ahora, mira a los poderes de la $2$. Usted también sabe que $4 = 2^2$, también el producto de dos números primos, pero ellos no son diferentes de los números primos, ambos son $2$. Y también, $2^3 = 8$, $2^4 = 16$, $2^5 = 32$, etc.
Yendo en la otra dirección que hemos $2^1 = 2$. No hay sorpresa. Y $2^0 = 1$. Y, como mencioné en un comentario a otra respuesta, $$2^{-1} = {1 \over 2}.$$
Claramente $${32 \over 2} = 16, {16 \over 2} = 8, {8 \over 2} = 4, {4 \over 2} = 2, {2 \over 2} = 1, {1 \over 2} = {1 \over 2}, {{1 \over 2} \over 2} = {1 \over 4}, {{1 \over 4} \over 2} = {1 \over 8}, {{1 \over 8} \over 2} = {1 \over 16}, \ldots$$
Por lo tanto, si $p^\alpha$ es el producto de la multiplicación de un primer $p$ sí $\alpha - 1$ veces, luego de lo $1$ es el producto de la multiplicación de un primer por sí mismo $0$ veces... espera, me parece que pinté en una esquina: desde $p$ puede ser cualquier número primo, o un número compuesto, para el caso, eso significaría que la factorización de $1$ en realidad no es distinta... Pero el punto es que $1$ embargo es un producto, no obstante.
Permítanme tratar de saltar por encima de la pintura húmeda. Usted también sabe que $(-2)^2 = 4$. Pero ¿por qué no esta cuenta como una única factorización? Debido a $-1$ es una unidad, un número que no multiplicatively cambio de la norma de un número, que estamos de acuerdo en este dominio de la función valor absoluto.
Por lo tanto $(-2)^2$ no es distinta de la factorización de $4$, y tampoco es $-1 \times 2^2$, $(-1)^3 \times 2^2$, $(-1)^5 \times 2^2$, etc. Tampoco es $1^\alpha 2^2$, lo $\alpha$ pasa a ser, siempre y cuando sea un número. Si usted se considera a $-2$ a ser un número primo o no, esa es otra lata de gusanos. Si no, usted puede elegir para ver como el primer número de $2$ multiplicado por la unidad de $-1$.
Lo que significa que ni el orden ni la multiplicación por unidades hace que para una distinta de la factorización. Usted puede ver $1$ como el producto de una unidad de veces no primos. O como el cuadrado de la unidad de $-1$. Usted puede lanzar tantas unidades como desee, siempre y cuando aterriza el producto en el lado deseado del número de línea, o el deseado cuadrante del plano complejo.
Estos conceptos será importante si usted va a estudiar la teoría algebraica de números. Por ejemplo, $(10 - 7 \sqrt 2)^2 (10 + 7 \sqrt 2)^2$ $(\sqrt 2)^4$ no son distintas factorizations de $4$ en un cierto dominio de la algebraica de números que incluye a $\sqrt 2$ como primer número y $2$ como consecuencia de composite. Pero en ese dominio, $1$ $-1$ son también unidades, y la única factorización también se mantiene.
Saketh Malyala
Puntos
118
Evan Trimboli
Puntos
15857
1 es el producto de no prepara a todos, es una unidad. Y en ese camino, es el único entre los enteros positivos, entre todos los números, en realidad. Todos los demás números enteros positivos son cada uno el producto de al menos un número primo (sí, en el caso de un número primo).
Podría ser útil revisar el concepto de "vacío suma" y "vacío". Ambos son identidades, demasiado.
El vacío de la suma es 0, ¿verdad? Agregar 0 a un número $x$ han $x$. Agregó nada, agregó el vacío. $x + 0 = 0$.
Pero 0 no es el vacío del producto. A menos $x = 0$,$x \times 0 \neq x$. El vacío del producto tiene que ser algo que no cambia de $x$. Tiene que ser algo que es la misma que la no realización de la multiplicación, es decir, vacío de la multiplicación. Por lo $x \times 1 = x$. Por lo que el 1 es el vacío del producto.
Visto de esta manera, entonces:
- 1 es el vacío producto de no prepara a todos, cero de los números primos.
- Un número primo $p$ es su propio producto, el producto de un solo prime.
- Un semiprime es el producto de dos números primos, no necesariamente distintos.
- Sphenic números son el producto de tres números primos. Los cubos de los números primos tienen también tres factores primos, aunque no se distingue. También en este punto, los números de la forma $p^2 q$ donde $p$ $q$ son distintos de los números primos.
- Productos de cuatro números primos, etc.
Realmente doblar su mente, pregunte: ¿cuál es el producto de $-1$ de los números primos?
