Si $\lim_{n\to\infty}|a_n|/|a_{n+1}|=R$, ¿por qué no $\sum a_nz^n$ también tiene radio de convergencia $R$?

Question

Estoy tratando de enseñar a mí mismo análisis complejo, y he estado trabajando en esta idea.

Supongamos $\lim_{n\to\infty}|a_n|/|a_{n+1}|=R$, me gustaría saber por qué $\sum a_nz^n$ también ha $R$ como su radio de convergencia.

Creo que quiero mostrar $$ \limsup \sqrt[n]{|a_n|}=\frac{1}{\lim_{n\to\infty}|a_n|/|a_{n+1}|}=\lim_{n\to\infty}\frac{|a_{n+1}|}{|a_n|}. $$

Me doy cuenta de que $|a_n|$ puede ser escrito como $|a_n|=\frac{|a_n|}{|a_{n-1}|}\frac{|a_{n-1}|}{|a_{n-2}|}\cdots\frac{|a_{k+1}|}{|a_{k}|}|a_k|$. Me esperaba que esto sería de gran ayuda ya que es un producto de las proporciones de los valores absolutos de los términos sucesivos.

Yo no sabía cómo proceder después de estas observaciones. ¿Cómo puedo terminar esto? Gracias!

Answer 1

Podría ser más fácil para mostrar de forma más directa. Suponga $|z|<R$. Elija $\epsilon>0$, de modo que $|z|<R-\epsilon$. A continuación, encontrará $N$, de modo que $|\frac{|a_n|}{|a_{n+1}|}-R|<\epsilon$$n\geq N$. En particular, $|\frac{a_n}{a_{n+1}}|>R-\epsilon$.

A continuación, para $n\geq N$, $$\left|\frac{a_N}{a_n}\right| = \left|\frac{a_N}{a_{N+1}}\frac{a_{N+1}}{a_{N+2}} ...\frac{a_{n-1}}{a_n}\right| > (R-\epsilon)^{n-N}$$

Por lo $|a_n|< \frac{|a_N|}{(R-\epsilon)^{n-N}}$, y por lo tanto:

$$|a_nz^n| < |a_Nz^N|\cdot \left |\frac{z}{R-\epsilon}\right |^{n-N}$$

para $n\geq N$. Pero $|\frac{z}{R-\epsilon}|< 1$, lo $\sum |a_nz^n|$ converge porque es acotada arriba por una serie geométrica con cociente de menos de $1$$n\geq N$. Por lo tanto, $\sum a_nz^n$ es absolutamente convergente.

Del mismo modo, se puede mostrar que si $|z|>R+\epsilon$, entonces existe un $M$ tal que para $n\geq M$, $|a_nz^n|>|a_Mz^M|\cdot |\frac{z}{R+\epsilon}|^{n-M}$. Por lo tanto, $|a_nz^n|$ no converge a cero, y por lo tanto, $\sum a_nz^n$ no convergen.

(Usted probablemente tendrá que poner algunas condiciones que hacen que el límite de sentido, tal como $a_n$ no es cero o distinto de cero para todos, pero un número finito de valores. Si usted permite que un número finito de valores cero, a continuación, elija $M,N$, de modo que no hay valores cero se producen después de ellos.)

Answer 2

En lugar de tratar de estimar el individuo $a_i$s, lo que yo quisiera hacer es centrarse en la relación entre los términos sucesivos en el poder de la serie:

Supongamos $\lim \frac{|a_n|}{|a_{n+1}|} = R$. A continuación, para $|z|>R$ está bastante claro que la $\sum a_n z^n$ no convergen, porque a partir de un cierto punto, sus sucesivos términos de aumento de la magnitud por una relación tan cerca de $\frac{|z|}{R}>1$ como te gusta.

Por otro lado, consideremos $|z|<R$. Elija $K$ estrictamente entre el$\frac{|z|}{R}$$1$. A continuación, a partir de un cierto punto en $\sum a_nz^n$, la relación entre los términos sucesivos será en la mayoría de las $K$. Pero luego podemos mostrar $\sum a_n z^n$ converge por majorizing con la serie geométrica $\sum c K^n$ algún $c$ (que supongo ya sabemos converge para $|K|<1$).