Deje $f : G \to G'$ ser un grupo de morfismos. Necesito encontrar una condición necesaria y suficiente tal que $\operatorname{Im}(f)$ es un subgrupo normal de $G'$.
Respuesta
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Para mostrar $\mathrm{Im}(f)$ es normal en $G'$ puede establecerse que para todos los $y \in \mathrm{Im}(f)$ $g \in G'$ ha $gyg^{-1} \in \mathrm{Im}(f)$.
Esto es equivalente a: para cada una de las $x \in G$ $g \in G'$ existe alguna $z\in G$ tal que $gf(x)g^{-1} = f(z)$. [Esto es básicamente regurgitar la definición.]
En general, no hay mucho más que se puede decir. Dado un homomorphism $f:G \to G'$ tal que $\mathrm{Im}(f)$ es normal en $G'$, uno siempre puede (a menos que $f$ es la trivial homomorphism) encontrar un grupo más grande $G''$ contiene $G'$ tal que $\mathrm{Im}(f)$ no es normal en $G''$. Así, la normalidad de la imagen suele ser bastante sensible a la elección del codominio.
