Es el número de índice d subgrupos en el grupo libre de rango 2 acotado por un polinomio?

Question

Para $d=1$, vamos a $M_1 = 1$. Para $d>1$, definir $M_d$ recursivamente por $$M_d = d(d!) - \sum_{i=1}^{d-1} (d-i)! M_i.$$

Es $M_d$ acotado por un polinomio (de alto grado) en $d$?

Tenga en cuenta que $M_d$ es el número de subgrupos de índice $d$ en el grupo libre de rango $2$.

Answer 1

$M_d$ formas de la secuencia A003319.

Observe que la secuencia de $n_d = \frac{M_d}{d!} - d$ satisface: $$ n_d = - \sum_{k=1}^{d-1} \frac{n_k}{\binom{d}{k}} - \sum_{k=1}^{d-1} \frac{k}{\binom{d}{k}} $$ La suma de $\sum_{k=1}^{d-1} \frac{k}{\binom{d}{k}}$ enfoques $1$ grandes $d$.

Experimentos numéricos sugieren que $n_d \to -1$$d \to + \infty$, por lo tanto, lo que indica que $M_d$ crece como $M_d \sim (d-1) (d!)$, que es más rápido que un polinomio.