Estoy repasando el primer capítulo del Análisis Funcional de Rudin. Al hacer una prueba en el espacio vectorial topológico que utilizó $V+\emptyset=\emptyset$ donde $V$ es un conjunto abierto y $\emptyset$ es un conjunto vacío en el espacio vectorial topológico. Pero creo que debería ser $V$ . ¿He entendido mal la adición?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
La afirmación del libro es correcta. Si $A$ y $B$ son dos subconjuntos de un espacio vectorial, entonces definimos $A+B$ como $$A + B = \{a+b \mid a \in A, b \in B\}$$
En tu caso, $B$ es el conjunto vacío, por lo que no hay $b \in B$ para que te vayas formando $a+b$ términos, por lo que $A+B$ es el conjunto vacío.
Puede que esté pensando en el caso en el que $B$ es $\{0\}$ es decir, el conjunto que sólo contiene el vector cero. En este caso
$$A + B = \{a+b \mid a \in A, b \in \{0\}\} = \{a+0 \mid a \in A\} = A$$
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Pequeña nota sobre MathJax: para el conjunto vacío, puedes usar "\emptyset" - por supuesto dentro de los símbolos de Dollar: $\emptyset$
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No, en realidad no ha malinterpretado nada grave. Se trata de un "caso extremo" que sólo puede analizarse de manera formal, como aclara la respuesta correcta de @user275313. No es un problema grave...