Calcular el $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin(\sec x)\,dx$

Question

Quiero calcular $$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin(\sec x)\,dx.$$

Yo realmente no podía entender. Debo hacer integración por partes? No puedo calcular la integral de esta manera.

Answer 1

Usted no puede encontrar la antiderivada de esta función en términos de funciones elementales, pero usted sabe que converge porque es acotada y continua en $(0, \pi/2)$.

Answer 2

No parece ser una forma cerrada de la expresión de esta integral, pero aquí es una manera de mostrar que converge (tenga en cuenta que esto es de hecho una integral impropia, como secante es indefinido en $\pi/2$).

Aquí está una imagen de la gráfica de wolfram alpha. Tenga en cuenta que se comporta de manera similar a $\sin(\tfrac{1}{x})$ por razones similares.

Ahora a ver por qué la función converge, tenga en cuenta que $-1\leq \sin(\sec(x))\leq 1$, por lo que $$ 0\leq \sin(\s(x))+2\leq 2. $$ En particular, $$ \int_0^{a}(\sin(\s(x))+1)dx\leq 2a $$ para todos los $a<\pi/2$. Además, si $a_1<a_2$, luego $$ \int_0^{a_1}(\sin(\s(x))+1)dx\leq \int_0^{a_2}(\sin(\s(x))+1)dx $$ como el integrando es no negativa. Por lo tanto $\int_0^{a}(\sin(\sec(x))+1)dx$ es un aumento limitado de la función de $a$$a<\pi/2$, por lo que $$ \int_0^{\pi/2}(\sin(\s(x))+1)dx=\lim_{un\(\pi/2)^{-}}\int_0^{a}(\sin(\s(x))+1)dx $$ existe, y por lo tanto el límite original convergerán así (restando donde corresponda).

Answer 3

$$\int_{0}^{\pi/2}\sin\left(\frac{1}{\cos x}\right)\,dx = \int_{0}^{\pi/2}\sin\left(\frac{1}{\sin x}\right)\,dx = \int_{0}^{1}\frac{\sin(1/x)}{\sqrt{1-x^2}}\,dx =\int_{1}^{+\infty}\frac{\sin(x)}{x\sqrt{x^2-1}}$$ y la última integral es convergente por Dirichlet de la prueba: $\sin x$ es una función con un delimitada primitivo y $\frac{1}{x\sqrt{x^2-1}}$ es una función decreciente a cero en $(1,+\infty)$. $\frac{\sin(x)}{x\sqrt{x^2-1}}$ también es integrable en valor absoluto, ya que $\left|\sin x\right|\leq 1$$\frac{1}{x\sqrt{x^2-1}}\approx\frac{1}{x^2}$.

Numéricamente, el valor de la integral está muy cerca de la $\color{blue}{1}$.

Answer 4

Usted puede calcular numéricamente, pero no se puede utilizar el derecho de punto final porque $\sin\left(\sec\frac\pi2\right)$ no está definido. Utilizar el punto medio de la regla. Deje $n$ el número de particiones y $\Delta x$ ser la longitud de cada intervalo. A continuación, $n\Delta x=\frac\pi2$. Deje $f(x)=\sin\left(\sec x\right)$. El punto medio de la suma es $$M=\Delta x\left(f\left(\frac{\Delta x}{2}\right)+f\left(\frac{3\Delta x}{2}\right)+f\left(\frac{5\Delta x}{2}\right)+\dots+f\left(\frac{\pi-\Delta x}{2}\right)\right)$$ Sustituyendo $\Delta x=\frac{\pi}{2n}$, tenemos $$M=\frac{\pi}{2n}\left(f\left(\frac{\pi}{4n}\right)+f\left(\frac{3\pi}{4n}\right)+f\left(\frac{5\pi}{4n}\right)+\dots+f\left(\frac{(2n-1)\pi}{4n}\right)\right)$$ El resultado es muy cerca de $1$.