Los métodos para Encontrar la Solución Exacta Para $e^{2x}+p(2x)$

Question

Sé que hay maneras de utilizar la función W de Lambert, y han tenido respuestas a las más simples ejemplos, por ejemplo $$e^{2x}+1+2x=0\Rightarrow e^{2x}=-2x-1$$ tiene la solución $$x=\frac{-1}{2}-\frac{1}{2}W\left(\frac{1}{e}\right)$$ que se puede encontrar en la Wikipedia y se realiza a través de una transformación. Lo que me parece que no puede encontrar la referencia a un mayor grado de los polinomios. La ecuación anterior implica una ecuación lineal. ¿Qué acerca de la cuadráticas, cúbicas, y más $n$-ésimo grado de los polinomios? Sé que puedo usar el método de Newton para encontrar grandes aproximaciones, pero ¿exacto?

Answer 1

$$e^{2x}+1+2x=0\Rightarrow e^{2x}=-2x-1$$ $$\Rightarrow 2 \cdot x= -(e^{2x}+1)$$ $$(1) \quad \Rightarrow x= {{-(e^{2x}+1)} \over 2}$$ Utilizando la teoría de los sistemas dinámicos, vemos que el lado derecho de (1) tiene un derivado de menos de 1 en torno a los valores que espero solucionar lo anterior. En otras palabras, hay una buena probabilidad de que la siguiente parte se va a trabajar. $$x= {{-(e^{2{{-(e^{2x}+1)} \over 2}}+1)} \over 2}$$ Así, me acabo de reescribir (1) en términos de sí mismo. Seguir adelante con esto... $$x{{-(e^{2{{-(e^{2{{-(e^{2..}+1)} \over 2}}+1)} \over 2}}+1)} \over 2}$$

El uso de $-0.5$ como una estimación, puedo obtener una estimación de $-0.639...$