Anti-simétricas formas de Dirac spinors

Question

Con el fin de describir invariante formas de Dirac spinors $S$ uno puede encontrar trivial subrepresentations en $S \otimes S$. Si utilizamos $S \cong (1/2, 0) \oplus (0, 1/2)$

\begin{multline} [(1/2, 0) \oplus (0, 1/2)] \otimes [(1/2, 0) \oplus (0, 1/2)] =\\ (0, 0) \oplus (1, 0) \oplus (1/2, 1/2) \oplus (1/2, 1/2) \oplus (0, 1) \oplus (0, 0) \end{multline}

Por lo tanto, la representación de la teoría predice la existencia de dos formas invariantes. Generalmente se afirma que esto de dos formas son $$ D_1(\chi, \psi)=\bar{\chi}\psi=\chi^T\gamma_0\psi=\chi_R^T\psi_L+\chi_L^T\psi_R $$ y $$ D_2(\chi, \psi)=\bar{\chi}\gamma_5\psi=\chi^T\gamma_0 \gamma_5\psi=\chi_R^T\psi_L-\chi_L^T\psi_R $$

La forma $D_1$ es simétrica y es una forma cuadrática (con complejo de conjugación en el primer argumento) se utiliza generalmente para la construcción de Dirac del Lagrangiano.

De otro lado, se sabe que en Weyl spinors también se puede encontrar una antisimétrica invariante formas dado como $$ \chi^T_L\sigma_2\psi_L . $$ Permítanme usar para construir uno de los más anti-simétrica invariante la forma en Dirac spinors como una suma de dos formas en Weyl spinors $$ D_3(\chi, \psi)=\chi^T_L\sigma_2\psi_L+\chi^T_R\sigma_2\psi_R $$

Formulario de $D_3$ no es una combinación lineal de $D_1$ $D_2$ y por lo tanto tengo una contradicción con la teoría de la representación de la predicción. Donde he cometido un error?

Answer 1

No creo que Sasha cometido un error. Voy a utilizar el punteado/undotted notación que pueden aclarar la posible SL(2,C) los invariantes. Vamos $\xi^{A}$, $\theta^{A}$, $\eta^{\dot{A}}$ y $\phi^{\dot{A}}$ ser Weyl spinors. La de Levi-Civita tensores $\epsilon_{AB}$ $\epsilon_{\dot{A}\dot{B}}$ transformar trivialmente en virtud de SL(2,C), de modo que puede ser utilizado para disminuir los índices. Las reglas de manera consistente, $$ \xi_{A}=\xi^{B}\epsilon_{BA} $$ y, $$ \eta_{\dot{A}}=\epsilon_{\dot{Un}\dot{B}}\eta^{\dot{B}} $$ El SL(2,C) invariante de Levi-Civita tensores son sólo la similitud de las transformaciones que se conectan equivalente en SL(2,C) irreps. Uso arriba y abajo índices y compleja conjugación $(^{*})$, uno puede hacer cuatro SL(2,C) los invariantes, $\xi^{A}\theta_{A}$, $\eta^{\dot{A}}\phi_{\dot{A}}$, $$ (\xi^{A})^{*}\eta^{\dot{A}}=[\xi^{*}]_{\dot{A}}\eta^{\dot{Un}} $$ y $$ \xi^{A}(\eta^{\dot{Un}})^{*}=\xi^{A}[\eta^{*}]_{A} $$ La primera y la segunda son invariante bajo paridad. La tercera y la cuarta no son invariante bajo paridad. Sumando y restando la tercera y la cuarta SL(2,C) los invariantes, uno puede hacer Sasha de formas bilineales $D_{1}$ y $D_{2}$. $D_{1}$ transforma trivialmente debajo de la paridad, mientras que $D_{2}$ cambios de signo en virtud de la paridad. Por lo tanto $D_{1}$ $O(3,1)$ escalares y $D_{2}$ $O(3,1)$ pseudoscalar. Sasha invariable $\chi^T_L\sigma_2\psi_L$ mi $\eta^{\dot{A}}\phi_{\dot{A}}$ modulo de un factor de $i$, por lo que Sasha es O(3,1) invariante $D_{3}$ haciendo un resumen de mi primer y segundo invariantes.

Editar: Mi proyecto anterior, dijo, "yo no veo ninguna contradicción con la teoría de la representación aquí, porque yo no veo ninguna razón para la expansión de Dirac spinors $$ [(1/2, 0) \oplus (0, 1/2)] \otimes [(1/2, 0) \oplus (0, 1/2)] $$ para agotar la SL(2,C) los invariantes de la Weyl spinors." En la reflexión, mis palabras fueron mal. Todo lo que he hecho aquí es la lista de los bilineal O(3,1) invariantes . Supongo que Sasha quiere ver la descomposición de un rango de general de 2 de Dirac tensor en S(3,1) irreps, yo no he hecho esta parte.