Comparar los conjuntos de valores posibles

Question

Decir $x$ es un número real, se puede argumentar que el conjunto de posibles valores de $x$ al $x < 2$ es inferior al $x < 4$? Es este matemáticamente cierto?

Uno podría argumentar que el conjunto de valores posibles en el caso de esta última contiene que de el primer caso, además de otros valores. Pero, estamos comparando infinito de valores.

Answer 1

Depende de tu concepto de tamaño de un subconjunto. Si parcialmente la orden de los subconjuntos de los números reales utilizando el subconjunto relación, entonces sí, en un sentido decir $\{x\in\mathbb{R}\mid x<2\}\subset \{x\in\mathbb{R}\mid x<4\}$.

Si comparamos los conjuntos en términos de cardinalidad, entonces no. Tienen la misma cardinalidad. Deje $A=\{x\in\mathbb{R}\mid x<2\}$$B=\{x\in\mathbb{R}\mid x<4\}$. El mapa de $f\colon A\to B$ $f(x)=x+2$ es un bijection.

Si comparamos el uso de medida de Lebesgue, entonces no. Ambos conjuntos tienen igual medida a $\infty$.

Answer 2

Usted ha golpeado en el hecho de que 'tamaño' es difícil noción cuando se trata de conjuntos infinitos.

Los matemáticos han tratado de llegar con definiciones matemáticas para comparar los tamaños de los conjuntos infinitos, y posiblemente uno de los más 'buen comportamiento' definiciones es la de cardinalidad: podemos decir que dos conjuntos tienen la misma cardinalidad' si y sólo si sus elementos se pueden colocar en un uno-a-uno la correspondencia.

Este uno-a-uno la correspondencia que parece sin duda la captura de una intuitiva aspecto de 'tamaño': si podemos llegar en dos bolsas y sacar un elemento de cada uno y tirarlos en la basura, y si continua para ello se escape de las bolsas al mismo tiempo, a continuación, las bolsas son de igual tamaño. Ahora, no podemos escape infinito bolsas de tamaño de esta manera, pero un uno-a-uno-correspondencia ciertamente capta esta idea.

Por otra parte, la relación de las dos conjuntos de tener la misma cardinalidad tiene un montón de propiedades atractivas correspondiente a nuestra idea intuitiva de tamaño: es reflexiva, simétrica y transitiva, y tiene algunos de los más importantes y de nuevo intuitiva propiedades. Así, cuando los matemáticos hablar de 'tamaño', que suelen hablar acerca de esta noción de 'cardinalidad'.

Pero, esto todavía deja abierta la cuestión de si esta noción de "cardinalidad" es realmente la mejor manera de pensar acerca de 'tamaño', y mucho menos que este de alguna forma es el mismo "tamaño". De hecho, los dos conjuntos en su ejemplo, llegar a tener la misma cardinalidad, aunque uno de ellos es un subconjunto de la otra, que es más bien contrario a la intuición, y seguramente se podría hacer un argumento de que cualquier conjunto es subconjunto de otro conjunto es "menor" que el de ese conjunto.

En el final, sin embargo, los matemáticos simplemente trabajar con sus definiciones. Por lo tanto, van a decir que los dos conjuntos en su ejemplo, tienen la misma cardinalidad ... y, así, simplemente, dejan de lado la noción de 'tamaño' o 'menor que' ... a pesar de que a menudo el uso que del lenguaje de manera informal cuando se habla acerca de la cardinalidad.

Answer 3

mathematicaly una línea real R es isomorfo con el intervalo de $(0,1)$. Quiero decir, tienen la misma cardinalidad. ¿se imaginan eso??