Terminación con respecto a la más fuerte de la norma no es subconjunto?

Question

Deje $M$ ser una normativa espacio vectorial equipado con dos normas $\| \cdot \|_1$ $\| \cdot \|_2$ donde $\| \cdot \|_1$ es más fuerte que el $\| \cdot \|_2$, es decir, \begin{equation} \forall x \in M: \| x \|_2 \leq c \|x\|_1 \end{equation} Vamos ahora a $\bar{M}_i$ denotar la terminación (cp. Reed Simon, Thm. I. 3) de $M$ con respecto al $\| \cdot \|_i$.

Ahora yo quería mostrar, $\bar{M}_1 \subset \bar{M}_2$ mantiene.

Pero de alguna manera, la prueba no funciona. Por lo tanto, recordar, cómo la finalización de las obras:

La finalización de $M$ w.r.t. $\| \cdot \|_i$ se define como el conjunto $B_i$ de todas las secuencias que son de Cauchy en $M$ w.r.t. $\| \cdot \|_i$ modulo de la relación de equivalencia: \begin{equation} (x_n) \sim_i (y_n) \Leftrightarrow \lim_{n \rightarrow \infty} \| x_n - y_n \|_i = 0 \end{equation} I. e. $\bar{M}_i = B_i /\sim_i$.

Ahora tenemos $B_1 \subset B_2$, ya que el $\| \cdot \|_2$ es más débil de lo $\| \cdot \|_1$. Deje $i: B_1 \hookrightarrow B_2$ la correspondiente inyectiva incrustación. Ahora $i$ hace descender a un inyectiva mapa de $j: B_1 / \sim_1 \hookrightarrow B_2 / \sim_2$ si y sólo si $\forall (x_n), (y_n) \in B_1: (x_n) \sim_1 (y_n) \Leftrightarrow i( (x_n)) \sim_2 i((y_n))$ ($\Rightarrow$ es necesario para la existencia y $\Leftarrow$ para la inyectividad).

Pero desde $\| \cdot \|_2$ es más débil que $\| \cdot \|_1$, $ \Leftarrow$ no se sostiene en general. Por lo tanto, en general, $\bar M_1 \subset \bar M_2$ no posee.

Esto parece para mí muy extraño, especialmente, desde el cierre de un subespacio denso en un espacio de conclusión, y de aquí la afirmación sostiene (es decir: sea X una normativa espacio, que se completa w.r.t. $\| \cdot \|_i$ $\| \cdot \|_1$ es más fuerte que el $\| \cdot \|_2$. Deje $Y \subset X$. A continuación el cierre de Y en X w.r.t. $\| \cdot \|_2$ contiene el cierre de Y en X w.r.t. $\| \cdot \|_1$). Lo que me estoy perdiendo?

Answer 1

No te estás perdiendo nada. ¿Qué quieres demostrar que no es cierto en general.

Aquí es una perspectiva un tanto diferente de lo que quiere mostrar: El mapa de identidad $\iota : M_1 \to M_2 \subset \overline{M_2}$ es claramente una bien definida y delimitada lineal mapa. Por lo tanto, no es difícil ver que no hay una única extensión continua $\overline{\iota} : \overline{M_1} \to \overline{M_2}$$\iota$. Lo que están pidiendo es esencialmente si $\overline{\iota}$ siempre es inyectiva.

Esto no es así: Para ver esto, consideremos el conjunto $M := C^1([0,1])$,$\|\bullet\|_2 = \|\bullet\|_\sup$$\|f\|_1 := \|f\|_2 + |f'(0)|$. Ahora, corregir algunos $g \in C^1([0,\infty))$ $g'(0) = 1$ que $g,g'$ son acotados. Set $g_n (x) := n^{-1} \cdot g(nx)$. Luego tenemos la $\|g_n\|_{L^\infty([0,1])} \to 0$ (por el acotamiento de $g$), pero $g_n'(x) = g'(nx)$, por lo que el $|g_n'(0)| = 1$ todos los $n \in \Bbb{N}$. Por lo tanto, $$ \| g_n - g_m \|_1 = \|g_n - g_m\|_{L^\infty([0,1])} + |g_n'(0) - g_m'(0)| \leq \|g_n\|_{L^\infty} + \|g_m\|_{L^\infty} \to 0, $$ de modo que $(g_n)_n$ es de Cauchy con respecto a las normas. Por la integridad de la $\overline{M_i}$, así vemos $g_n \to g$ con respecto al $\|\bullet\|_1$, y es fácil ver $g_n \to 0$ con respecto al $\|\bullet\|_2$. Ya tenemos $\|g_n\|_1 \geq |g_n'(0)| = 1$, vemos a $\|g\|_1 \geq 1$, es decir, $g \neq 0$. Pero $\overline{\iota}(g) = \overline{\iota}(\lim_n g_n) = \lim_n \iota(g_n) = \lim_n g_n = 0$, por lo que el $\overline{\iota}$ no es inyectiva.

La forma habitual para asegurarse de que $\iota$ es inyectiva es que ya sabe que $\overline{M_i} \hookrightarrow X$ para un adecuado espacio de Hausdorff $X$ (normalmente, $X$ podría ser el espacio de las funciones medibles con la convergencia en medida, o el espacio de las distribuciones, etc.). Tenga en cuenta que uno necesita saber esto para la finalización de mantener, no sólo para los espacios de $M_i$ a sí mismos. De hecho, en el ejemplo anterior, tenemos $M_i \hookrightarrow C([0,1])$, pero esto no fue suficiente para la conclusión de la inyectividad de $\overline{\iota}$.

Answer 2

Lo que está describiendo es una construcción particular de la finalización. La finalización de una normativa espacio de $X$ se define como un espacio de Banach $\overline{X}$ tal que existe una isometría lineal $\phi : X \to \overline{X}$ tal que $\operatorname{Im}\phi$ es un subespacio denso de $\overline{X}$.

Una alternativa de construcción es este:

Considerar la inyección canónica $\phi : X \to X''$ $X$ en su doble doble de la $X''$ $$\phi(x) = \hat{x}, \quad\forall x\in X$$

donde $\hat{x} \in X''$ actúa como $\hat{x}(f) = f(x)$ todos los $f \in X'$.

Tenemos que $\|\hat{x}\| = 1$ $\phi$ es una isometría lineal. Además, $\operatorname{Im}\phi$ es denso en $\overline{\operatorname{Im}\phi}$, que es a su vez un espacio de Banach. Por lo tanto, la conclusión es dado por $\overline{\operatorname{Im}\phi}$.

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Ahora, vamos a $M_i$ ser su espacio espacio vectorial $M$ equipado con la norma $\|\cdot\|_i$.

Podemos tomar el codominio de la inyección canónica $\phi : M \to M^{**}$ a ser el dual algebraico $M^{**}$, de modo que $$\operatorname{Im}\phi \subseteq M_1'', M_2'' \subseteq M^{**}$$

En ese caso, el aviso de que el cierre de la $\overline{\operatorname{Im}\phi}^1$ con respecto al $\|\cdot\|_1$ es un subconjunto de la clausura $\overline{\operatorname{Im}\phi}^2$ con respecto al $\|\cdot\|_2$:

\begin{align} \overline{\operatorname{Im}\phi}^1 &= \{\lim_{n\to\infty}x_n : (x_n)_{n=1}^\infty \text{ sequence in } \operatorname{Im}\phi \text{ converging in } \|\cdot\|_1\} \\ &\subseteq \{\lim_{n\to\infty}x_n : (x_n)_{n=1}^\infty \text{ sequence in } \operatorname{Im}\phi \text{ converging in } \|\cdot\|_2\}\\ &= \overline{\operatorname{Im}\phi}^2 \end{align}

Por lo tanto, las terminaciones satisfacer $\overline{M_1} \subseteq \overline{M_2}$.