Contador de ejemplo en el que se violan uniforme de la continuidad...

Question

Para una determinada función continua $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$, definir una secuencia de la función $\{f_n\}_{n\in \mathbb{N}}$ $$f_n(x):=f\Big(x+\frac{1}{n}\Big).$$ Ahora si $f$ es uniformemente continua, entonces puedo mostrar que {$f_n$} converge a $f$ uniformemente. En este punto, yo estaba pensando acerca de lo contrario, i,e; si {$f_n$} definido anteriormente converge a $f$ uniformemente, ¿ que implica el uniforme de la continuidad de la $f$.
Creo que la respuesta es negativa, pero no estoy recibiendo ningún contador de ejemplo para que. ¿Alguien tiene algún ejemplo contrario?

Answer 1

Intente $f:x\mapsto\sqrt{|x|}$. No es uniformemente continua, tener una desenfrenada derivado en $0$. Pero el $f_n$ do convergen uniformemente a $f$.

Answer 2

Tome $$f_n (x)=x^2+\frac {1}{n+1} $$

$(f_n)$ convergen uniformemente a $$f:x\mapsto x^2$$ at $\Bbb R $ but $f $ is not uniformly continuous at $\Bbb R $ desde

$$\lim_{n\to+\infty}f (n+\frac{1}{n})-f (n)\ne 0 $$

Si $f_n $ son continuas y si la convergencia es uniforme en un compacto $[a,b] $, entonces el límite de la función es Uniformemente continua en a $[a,b] $.