Hay infinitos números primos $p$ , st $P(x)+p$ es irreducible sobre $\mathbb{Z}[x]$

Question

Según el Conjetura de Bunyakovsky es un problema abierto si bajo condiciones especiales, los polinomios enteros de grado mayor que uno generan infinitos primos.

¿Sabe alguien si se ha estudiado alguna vez el siguiente problema, que implica polinomios enteros y números primos?

Consideremos un polinomio $P(x) \in \mathbb{Z}[x]$ de grado $\geq 2$ . ¿Existen infinitos números primos $p$ tal que $P(x)+p$ es irreducible sobre $\mathbb{Z}[x]$ ?

Se agradecería cualquier ayuda.

Answer 1

Sí, por el Teorema de Irreductibilidad de Hilbert. En "Topics in Galois Theory" de Serre se explica que (1) $P(x)+q$ es irreducible sobre $\mathbb{Q}$ excepto un subconjunto "delgado" de $q \in \mathbb{Q}$ y (2) el número de puntos enteros de altura $\leq N$ en un subconjunto delgado de $\mathbb{Q}$ es $O(N^{1/2})$ por lo que la respuesta afirmativa se deduce del teorema de los números primos (el número de primos de altura $\leq N$ es asintótica a $N/log(N)$ ).