Integración truco

Question

Mientras buscaba algunas agradable integrales que no se enseñan en la escuela, me encontré con este teorema:

Supongamos $f$ es un bivariante armónico de la función; $(a,b)$ es un punto en el plano; y $r$ es un número real positivo. A continuación, $$ \int^{2\pi}_{0} f(a+ r \cos \theta, b+r\sin \theta)d\theta=2\pi f(a,b) $$

Hay una buena manera de probar el teorema anterior?

Por desgracia no tengo idea de cómo empezar a probar esto, pero sospecho que es relativa a la fórmula de Euler, ya que hay un ejemplo que puede ser resuelto de esa manera.

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Fuente $\longrightarrow$ Integración Trucos | Brillante De Matemáticas Y Ciencias De La Wiki

Answer 1

Empieza por escribir $f$ como una función de una variable compleja en la forma habitual, por lo que el resultado es reivindicada

$$\int_0^{2\pi} d\theta \,f\bigl(z_0+re^{i\theta}\bigr)=2\pi\,f(z_0)$$

con $z_0:=a+ib$. Expanda el integrando como una serie de Taylor, es decir.

$$\sum_{n\ge 0}\frac{f^{(n)}(z_0)}{n!}\int_0^{2\pi} d\theta \,e^{in\theta}$$

El resultado necesario de la siguiente manera de $\int_0^{2\pi} d\theta\, e^{in\theta}=2\pi\delta_{n0}$.

Answer 2

Esto se deduce del Valor medio Teorema para funciones armónicas. Deje $f\in C^2(\Omega)$ ser una función armónica en algunos dominio abierto $\Omega\subseteq\mathbb{R}^n$ $$f(x_0)=\frac{1}{\text{vol}(B(x_0,r))}\int_{B(x_0,r)}f(x)\,dx=\frac{1}{\text{vol}(\partial B(x_0,r))}\int_{\partial B(x_0,r)}f(x)\,dS$$ para cada bola de $B(x_0,r)\subseteq \Omega$. Aquí $\partial B(x_0,r)$ es la esfera centrada en $x_0$ radio $r>0$ $\,dS$ es el elemento de integración en $\partial B(x_0,r)$. El uso de la segunda fórmula para $n=2$ obtenemos $$f(x_0)=\frac{1}{2\pi r}\int_{||x-x_0||\leqslant r}f(x)\,dS=\frac{1}{2\pi }\int_0^{2\pi}f(x_0+rw(\theta))\,d\theta$$ donde $w(\theta):=(\cos(\theta),\sin(\theta))$. En particular, para $x_0:=(a,b)$ que obtener el resultado deseado.