El cálculo de Szeto de una integral de contorno no es erróneo. El verdadero problema es que la integral de contorno no es exactamente igual al valor principal original en general. Aquí corregimos su cálculo y obtenemos una forma cerrada.
En esta respuesta, utilizaré $\alpha$ en lugar de $n$ y guardar $n$ para otros usos.
Paso 1. Es conceptualmente más ordenado considerar la superficie de Riemann $X$ que se obtiene al unir
$$ \color{red}{X^+ = \{ z \in \mathbb{C}\setminus\{0\} : \operatorname{Im}(z) \geq 0 \}} \quad \text{and} \quad \color{blue}{X^- = \{ z \in \mathbb{C}\setminus\{0\} : \operatorname{Im}(z) \leq 0 \}} $$
a lo largo de la línea real negativa $(-\infty, 0)$ . La superficie resultante es casi igual al plano perforado $\mathbb{C} \setminus \{0\}$ excepto que hay dos copias de $(0, \infty)$ Uno de $X^+$ y el otro de $X^-$ . Para distinguirlos, escribimos $x + 0^+ i$ cuando $x \in (0, \infty) \cap X^+$ y $x + 0^- i$ cuando $x \in (0, \infty) \cap X^-$ . Esto se puede visualizar como
$\hspace{5em}$ ![visualizing the surface $X$]()
Entonces, al pegar el logaritmo complejo en $X^+$ con $\arg \in [0, \pi]$ y el logaritmo complejo en $X^-$ con $\arg \in [\pi, 2\pi]$ podemos crear el logaritmo complejo $\operatorname{Log}$ en $X$ con $\arg \in [0, 2\pi]$ . Y esta es la razón por la que queremos considerar $X$ . También observamos que el análisis complejo es aplicable en $X$ .
Paso 2. Para cada $n \geq 1$ y $0 < \epsilon \ll 1$ consideramos el contorno cerrado $C = C_{n,\epsilon}$ en $X$ especificado por la siguiente imagen.
$\hspace{6.5em}$ ![The contour]()
Aquí, el contorno cuadrado tiene cuatro esquinas $\pm n\pi \pm in\pi$ y cada contorno circular tiene un radio $\epsilon$ . También las marcas $\times$ se refieren a los polos $x_k = (k - \frac{1}{2})\pi$ de $\tan z$ que son todos simples. Descomponemos $C$ en varios componentes.
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$\Gamma_n$ es el contorno cuadrado más externo, orientado en sentido contrario a las agujas del reloj (CCW).
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$\gamma_{\epsilon}$ es el contorno circular alrededor de $0$ orientado en el sentido de las agujas del reloj (CW).
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$L = L_{n,\epsilon}$ es la unión de los segmentos de línea
$$ [\epsilon, z_1 - \epsilon], \quad [x_1 + \epsilon, x_2 - \epsilon], \quad \cdots, \quad [x_{n-1} + \epsilon, x_n - \epsilon], \quad [x_n + \epsilon, n\pi]$$
que se orientan de izquierda a derecha. En concreto, hay dos versiones de $L$ dependiendo de cuál de $X^{\pm}$ se considera. Una es $\color{red}{L^+ := L + 0^+ i}$ en $X^+$ y el otro es $\color{blue}{L^- := L + 0^- i}$ en $X^-$ .
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$\gamma^{+}_{k,\epsilon} \subset X^+$ denota el contorno CW superior-semicircular de radio $\epsilon$ alrededor de $x_k + 0^+ i$ .
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$\gamma^{-}_{k,\epsilon} \subset X^-$ denota el contorno CW inferior-semicircular de radio $\epsilon$ alrededor de $x_k + 0^- i$ .
Entonces nuestro $C_{n,\epsilon}$ se escribe como
$$ C_{n,\epsilon} = \Gamma_n + \gamma_{\epsilon} + (L^+ + \gamma_{\epsilon,1}^{+} + \cdots + \gamma_{\epsilon,1}^{+}) + (-L^- + \gamma_{\epsilon,1}^{-} + \cdots + \gamma_{\epsilon,1}^{-}). $$
Paso 3. Consideramos la función $f : X \to \mathbb{C}$ definido por
$$ f(z) = z^{-\alpha} \tan z $$
donde $z^{-\alpha} := \exp(-\alpha \operatorname{Log} z)$ . Entonces la integral de valor principal original puede escribirse como
$$ \mathrm{PV}\int_{0}^{\infty} \frac{\tan x}{x^{\alpha}} \, dx = \lim_{\epsilon \to 0^+} \lim_{n\to\infty} \int_{L_{n,\epsilon}} \frac{\tan x}{x^{\alpha}} \, dx. \tag{1} $$
Por otro lado, por la fórmula de integración de Cauchy, obtenemos
$$ \int_{C_{n,\epsilon}} f(z) \, dz = 2\pi i \sum_{k=1}^{n} \text{[residue of $ f $ at $ -(k-\tfrac{1}{2})\tpi $]} = -\frac{2\pi i}{\pi^{\alpha} e^{\alpha \pi i}} \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{(k-\frac{1}{2})^{\alpha}} \tag{2} $$
Supongamos por un momento que $\alpha \in (1, 2)$ . Entonces no es difícil comprobar que
$$ \int_{\gamma_{\epsilon}} f(z) \, dz = \mathcal{O}(\epsilon^{2-\alpha}) \quad \text{and} \quad \int_{\Gamma_n} f(z) \, dz = \mathcal{O}(n^{1-\alpha}). $$
Además,
\begin{align*} \int_{L^+} f(z) \, dz &= \int_{L} \frac{\tan x}{x^{\alpha}} \, dx, \\ \int_{-L^-} f(z) \, dz &= -\frac{1}{e^{2\pi i \alpha}}\int_{L} \frac{\tan x}{x^{\alpha}} \, dx \end{align*}
y para cada $k \geq 1$ ,
\begin{align*} \lim_{\epsilon \to 0^+} \int_{\gamma_{k,\epsilon}^{+}} f(z) \, dz &= \frac{\pi i}{\pi^{\alpha} (k-\frac{1}{2})^{\alpha}}, \\ \lim_{\epsilon \to 0^+} \int_{\gamma_{k,\epsilon}^{-}} f(z) \, dz &= \frac{\pi i}{\pi^{\alpha} e^{2\pi i \alpha} (k-\frac{1}{2})^{\alpha}}. \end{align*}
Combinando todo, encontramos que $\text{(2)}$ se simplifica a
\begin{align*} \left(1 - e^{-2\pi i \alpha} \right) \int_{L} \frac{\tan x}{x^{\alpha}} \, dx &= -\pi^{1-\alpha} i \left(1 + 2e^{-\alpha \pi i} + e^{-2\pi i \alpha} \right) \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{(k-\frac{1}{2})^{\alpha}} \\ &\qquad + \mathcal{O}(n^{1-\alpha}) + \mathcal{O}(\epsilon^{2-\alpha}). \end{align*}
Por lo tanto, dejar que $n\to\infty$ y $\epsilon \to 0^+$ rinde
$$ \mathrm{PV}\int_{0}^{\infty} \frac{\tan x}{x^{\alpha}} \, dx = -\pi^{1-\alpha} i \frac{(1 + e^{-\alpha \pi i})^2}{1 - e^{-2\pi i \alpha}} \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{(k-\frac{1}{2})^{\alpha}}, $$
que se simplifica a
$$ \mathrm{PV}\int_{0}^{\infty} \frac{\tan x}{x^{\alpha}} \, dx = -\pi^{1-\alpha}\cot\left(\frac{\alpha\pi}{2}\right) (2^{\alpha} - 1)\zeta(\alpha). \tag{*} $$
Esto se extiende a todos los $\operatorname{Re}(\alpha) \in (0, 2)$ por el principio de continuación analítica. Por ejemplo, tomando $\alpha \to 1$ recuperamos el valor $\frac{\pi}{2}$ como se esperaba. También la siguiente es la comparación entre la integración numérica del valor principal (LHS de $\text{(*)}$ ) y la forma cerrada (RHS de $\text{(*)}$ ):
$\hspace{7em}$ ![comparison of both sides of (*)]()
