En los comentarios a la pregunta, Jyrki mostró que si $n$ tiene un factor de cuadrado, a continuación, no son triviales ${\mathbf Q}$-lineal de las relaciones entre las $\{\zeta_n^a : (a,n) = 1\}$, por lo que este conjunto sólo puede ser un ${\mathbf Q}$-base de ${\mathbf Q}(\zeta_n)$ al $n$ es squarefree. Para demostrar que cuando $n$ es squarefree el conjunto $\{\zeta_n^a : (a,n)=1\}$ ${\mathbf Q}$- base de ${\mathbf Q}(\zeta_n)$ vamos a utilizar la inducción sobre el número de factores primos de a $n$.
Supongamos primero que $n = p$ es un primo. La costumbre ${\mathbf Q}$-base de ${\mathbf Q}(\zeta_p)$$\{1,\zeta_p,\zeta_p^2,\cdots,\zeta_{p}^{p-2}\}$. Desde $\zeta_p^{p-1} = -1-\zeta_p - \cdots - \zeta_p^{p-2}$, si reemplazamos $1$ $\zeta_p^{p-1}$ todavía tenemos un ${\mathbf Q}$-base, por lo $\{\zeta_p,\zeta_p^2,\cdots,\zeta_p^{p-1}\}$ es una base de ${\mathbf Q}(\zeta_p)/{\mathbf Q}$.
Ahora supongamos que hemos probado el resultado al $n$ es cualquier producto de la $r$ primos y considerar la posibilidad de un squarefree entero positivo $n$ que es un producto de $r+1$ números primos. Escribir $n = mp$ donde $p$ es uno de los principales factores de $n$, por lo que sabemos
$\{\zeta_m^i : 1 \leq i \leq m, (i,m) = 1\}$ ${\mathbf Q}$- base de ${\mathbf Q}(\zeta_m)$ $\{\zeta_p^{j} : 1 \leq j \leq p, (j,p) = 1\}$ ${\mathbf Q}$- base de ${\mathbf Q}(\zeta_p)$. A partir de la teoría de Galois, si $E$ $F$ (finito) de las extensiones de Galois de un campo común $L$ $E \cap F = L$ entonces como una base de $EF$ $L$ uno puede utilizar el conjunto de productos de $\{e_if_j\}$ donde $\{e_i\}$ cualquier $L$-base de $E$ $\{f_j\}$ cualquier $L$-base de $F$. Podemos aplicar esto a los campos $E = {\mathbf Q}(\zeta_m)$, $F = {\mathbf Q}(\zeta_p)$, y $L = {\mathbf Q}$. (Que la intersección de los dos cyclotomic campos es ${\mathbf Q}$ es un caso especial de la fórmula general ${\mathbf Q}(\zeta_r) \cap {\mathbf Q}(\zeta_s) = {\mathbf Q}(\zeta_{(r,s)})$, que se convierte en ${\mathbf Q}$ al $r$ $s$ son relativamente primos.) Por lo tanto, una ${\mathbf Q}$-base de $EF = {\mathbf Q}(\zeta_m,\zeta_p) = {\mathbf Q}(\zeta_n)$ es el conjunto de productos de $\{\zeta_m^i\zeta_p^j\}$ $i$ $j$ ejecución sobre los enteros enumerados anteriormente. Dentro de ${\mathbf Q}(\zeta_n)$ podemos usar $\zeta_m := \zeta_n^{n/m}$$\zeta_p := \zeta_n^{n/p}$, por lo que una base es $\{\zeta_n^{(n/m)i + (n/p)j}\} = \{\zeta_n^{pi + mj}\}$ donde $i$ ejecuta a través de los números enteros de 1 a $m$ que son relativamente primos a $m$ $j$ ejecuta a través de los números enteros de 1 a $p$ que son relativamente primos a $p$ (es decir, $1 \leq j \leq p-1$).
Que $n$th raíces de la unidad, estamos en el set $\{\zeta_n^{pi + mj}\}$ y cuántos hay? Los enteros $pi+mj$ son todos relativamente primer a $n = mp$ (sólo el de reducir mod $m$ y mod $p$ a comprobar que son relativamente primos a $m$ $p$ por separado), por lo que el conjunto se compone de la primitiva $n$th raíces de la unidad. Si $pi + mj \equiv pi' + mj' \bmod n$ (donde $i'$ $j'$ son sólo segundas opciones de los parámetros), a continuación, mediante la reducción de mod $m$ y mod $p$ obtenemos $i \equiv i' \bmod m$$j \equiv j' \bmod p$, lo $i = i'$ $j = j'$ a cuenta de los rangos de estos parámetros. Por lo tanto, el número de raíces de la unidad en este conjunto es $\varphi(m)\varphi(p) = \varphi(n)$, por lo que nuestro juego es exactamente el conjunto de todas las primitivas $n$th raíces de la unidad. Esto completa la prueba de que la primitiva $n$th raíces de la unidad son un ${\mathbf Q}$-base de ${\mathbf Q}(\zeta_n)$ al $n$ es squarefree.
Aunque la pregunta ya ha sido respondida, permítanme indicar un lugar donde naturalmente se encaja en una visión más amplia dentro de la teoría algebraica de números.
El resultado está relacionado con un teorema de Emmy Noether en normal integral de las bases.
Para cualquier (finito) de Galois de la extensión de $K/{\mathbf Q}$, una integral normal de base es una parte normal de base para la extensión de campo que consta de una ${\mathbf Z}$-base de ${\mathcal O}_K$. Por ejemplo, ${\mathbf Q}(\sqrt{5})/{\mathbf Q}$ ha integral normal base $\{(1+\sqrt{5})/2,(1-\sqrt{5})/2\}$. Otro ejemplo es ${\mathbf Q}(\zeta_p)$ para cualquier extraño prime $p$: el anillo de los enteros es ${\mathbf Z}[\zeta_p]$ y el habitual ${\mathbf Z}$-base puede que desee utilizar es $\{1,\zeta_p,\cdots,\zeta_p^{p-2}\}$, pero eso no es una forma normal porque tiene 1. En lugar usted puede utilizar $\{\zeta_p,\zeta_p^2,\cdots,\zeta_p^{p-1}\}$; que es una forma normal y es también una de las ${\mathbf Z}$-base de ${\mathbf Z}[\zeta_p]$, lo ${\mathbf Q}(\zeta_p)/{\mathbf Q}$ tiene una integral normal.
He aquí un ejemplo sin una integral normal. Si $d$ es squarefree y no $1 \bmod 4$, el anillo de enteros de ${\mathbf Q}(\sqrt{d})$${\mathbf Z}[\sqrt{d}]$. Forma normal de más de ${\mathbf Q}$ tiene la forma $\{a+b\sqrt{d},a-b\sqrt{d}\}$ racional,$a$$b$$b \not= 0$. Si esta base es en la ${\mathbf Z}[\sqrt{d}]$, entonces no puede ser un ${\mathbf Z}$-base de ${\mathbf Z}[\sqrt{d}]$ porque ${\mathbf Z}(a+b\sqrt{d}) + {\mathbf Z}(a-b\sqrt{d})$ índice de $2|ab| \geq 2$ dentro ${\mathbf Z}[\sqrt{d}]$.
El anillo de enteros de ${\mathbf Q}(\zeta_n)$${\mathbf Z}[\zeta_n]$. Compruebe que si $\{\zeta_n^a : (a,n) = 1\}$ fueron una base de ${\mathbf Q}(\zeta_n)/{\mathbf Q}$ es ${\mathbf Z}$-base de ${\mathbf Z}[\zeta_n]$, por lo tanto el $n$-th cyclotomic campo tendría una integral normal.
Emmy Noether demostrado que si una extensión de Galois $K/{\mathbf Q}$ tiene una integral normal, $K$ está confiando inocentemente se ramifica a través de ${\mathbf Q}$. Así que estar confiando inocentemente ramificado, es una condición necesaria (aunque en general no es suficiente) condición para una extensión de Galois de ${\mathbf Q}$ normal integral. Por ejemplo, si $d$ es squarefree y $d \not\equiv 1 \bmod 4$ 2 no está confiando inocentemente se ramifica en ${\mathbf Q}(\sqrt{d})$, por lo que el teorema de Noether implica que este cuadrática campo no tiene ninguna integral normal durante ${\mathbf Q}$, que ya se ha demostrado, por lo que el cálculo anterior. Un ejemplo más relevante para nosotros aquí es ${\mathbf Q}(\zeta_{p^2})$. El primer $p$ no está confiando inocentemente se ramifica en este campo, por lo que cualquier cyclotomic campo ${\mathbf Q}(\zeta_n)$ $n$ divisible por el cuadrado de un primo no es confiando inocentemente ramificado en el que prime, por lo tanto no tiene una integral normal. Por lo tanto, una condición necesaria para $\{\zeta_n^a : (a,n) = 1\}$ a ser la forma normal de la $n$-th cyclotomic campo es $n$ es squarefree. El teorema de Noether ha proporcionado una explicación conceptual de por qué $n$ debe ser squarefree.
Sugiero mirar Robert Largo del libro "la Teoría Algebraica de números" para obtener más información sobre confiando inocentemente ramificado extensiones de ${\mathbf Q}$ y la relación integral normal bases. No tengo el libro delante de mí ahora y de la búsqueda de Libros de Google no es dar buenas opiniones de ella, pero estoy bastante seguro de que tiene un capítulo sobre este tema en el que ya Galois de la estructura de módulo fue una de sus áreas de interés.
