Lo que demuestra una relación con la inducción

Question

Tengo un problema:

Deje $p_n$ $n:th$ primer número ($p_1=2, p_2=3, p_3=5$ y así sucesivamente). Con la inducción, muestran que $p_{n+2}>3n$ para cada entero $n\geq1$.

Yo no puedo entender esto debido a que los números primos son confusos, haciéndome incapaz de mostrar el paso inductivo.

Answer 1

Para $n=1$ observamos $p_1=2, p_2=3, p_3=5$. Por lo tanto, $p_{1+2}=5>3$. Por lo tanto, vamos a $n\in \mathbf{N}$ ser tal que la relación se mantiene para $n$, a continuación te mostramos $p_{n+3} > 3(n+1)$.

Ahora, $p_{n+3} \geq p_{n+2}+2 > 3n +2$, por la hipótesis inductiva. Por eso, $p_{n+3} \geq 3n+3 = 3(n+1)$. Ya, $3(n+1)$ es compuesto, no puede ser primo. Por lo tanto, $p_{n+3} > 3(n+1)$.

Así, la relación se mantiene para todos los $n \in \mathbf{N}$.

Mis disculpas por el manifiestamente incorrecta declaración de la escribí antes.

Answer 2

$p_{(n+1)+2}=p_{n+3}\geq p_{n+2}+2\geq3n+3$ ahora explicar por qué $p_{n+3}\neq 3(n+1)$.

Answer 3

Prueba por inducción.

Vamos a empezar con el caso de $n=1$:

$p_{1+2}=p_3=5>3*1=3$

Por lo que la igualdad es verdadera para $n=1$.

Ahora, vamos a suponer que la igualdad es verdadera para el caso de $n-1$, es decir,

$p_{n-1+2}=p_{n+1}>3(n-1)=3n-3$

y vamos a ver que también es cierto para n:

$p_{n+2}\geq p_{n+1}+2>3(n-1)+2=3n-1$; por lo $p_{n+2}\geq3n$

Ahora,usted tiene que ver que $p_{n+2}>3n$

Answer 4

Para $n=1$ podemos comprobar que $p_3=5>3\cdot1$
Supongamos que el enunciado es cierto para $n$ lo que significa que $p_{n+2}>3n$. Vamos a mostrar que
esto es para $n+1$.
Tenemos $p_{(n+1)+2}=p_{n+3}$. Ya sabemos de la inducción paso que $p_{n+2}>3n$, lo que significa $p_{n+2}\geq 3n+1$.
Así que si $p_{n+3}\leq 3(n+1)=3n+3$ sólo tenemos una posibilidad: $p_{n+3}=3n+2$

(o $p_{n+3}=3n+1$, lo que significa que $p_{n+2}$ $p_{n+3}$ coinciden . También, si $p>3$ $p$ no puede ser un múltiplo de $3$ para el caso $p_{n+3}=3(n+1)$ es rechazado)

Pero esto significa que $p_{n+2}$ $p_{n+3}$ son números primos consecutivos que solo es posible si los primos se $2,3$ (estamos ya por encima de los $5$)
Todos en el paso anterior a llegar a una contradicción y, por lo tanto debemos tener sólo una posibilidad: $p_{n+3}>3(n+1)$

esto demuestra el caso de $n+1$, por lo que, para cada $n$.