La unión de la cíclica subespacio es también un espacio cíclico

Question

Dado un espacio de Hilbert separable $H$, $U$ es un operador unitario. Un cíclica subespacio, que se denota como $Z(x)$ algunos $x\in H$, se define como el cierre de la lineal lapso de $U^nx$ donde $n\in \Bbb Z$ es cualquier número entero.

Ahora tenemos una secuencia cíclica subespacios, es decir, $Z(x_1)\subset Z(x_2)\subset \cdots$. Luego del cierre de su unión, $\overline{\bigcup_iZ(x_i)}$, también es cíclico subespacio.

Answer 1

Añadir algunos detalles a @DavideGiraudo comentario: en el contexto de los espacios de Hilbert, uno no puede pensar de uso (un caso fácil de) la Banach-Alaoglu teorema, es decir, que se cerró en la unidad de bolas se compacta en la debilidad de la topología de doble. Por lo tanto, el cierre del casco convexo de $C_n=\{x_k:k\ge n\}$ es compacto en la debilidad de la topología de doble, y su intersección es no vacía.

Dada la existencia de una (no-cero) vector en esa intersección, no es difícil probar que es cíclico.