Las funciones racionales son continuas en su dominio. Nuestra función es una función racional con dominio $\mathbb{R} - \{0 \}$ . Por lo tanto, debe ser continua en su dominio.
Pero uno de mis amigos argumenta que $f$ no tiene límite en $0$ (que es un punto límite del dominio de $f$ ) por lo que no podemos decir que sea continua. ¿Qué argumento es correcto?
El punto $x=0$ no está en el dominio $\mathbb R \backslash \{0\}$ , por lo que el límite $x \to 0$ es irrelevante.
¿Diría su amigo que $\displaystyle{f(x)=\frac{1}{1+x^2}}$ con dominio $\mathbb R$ es discontinuo porque $f(x)$ no se define cuando $x=\pm \, i$ ?
Un hecho interesante: Si utilizamos el línea real ampliada de forma protectora como dominio (y rango), entonces todos los irreducibles funciones racionales son continuos para todas las entradas.
Por definición, $f$ es continua si es continua en cada punto de su dominio. Por lo tanto, $f(x)=\frac{1}{x}$ es realmente continua. Al mismo tiempo, $f$ no es continua en $0$ porque ni siquiera está definido allí. Sin embargo, $0$ no es un punto en el dominio de $f$ por lo que no se tiene en cuenta al hablar de la continuidad de $f$ . Que $0$ es un punto límite del dominio no importa.
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