La integral sobre el conjunto nulo es cero

Question

Siento esta pregunta elemental, pero no he podido encontrar una prueba rigurosa de por qué la integral de Lebesgue de cualquier función sobre un conjunto nulo es cero.

Gracias por la ayuda.

Answer 1

Empiece por la definición. La integral de Lebesgue de una función simple $s = \sum_{j=1}^n \alpha_j \ \chi_{A_j}$ es:

$$ \int_E s \,d\mu = \sum_{j=1}^n \alpha_i \ \mu(E \cap A_j) $$

Si $\mu(E) = 0$ entonces $\mu(E \cap A_j) = 0$ para todos $j$ . Así, $\int_E s \,d\mu = 0$ .

La integral de Lebesgue de una función no negativa $f$ es la suma de las integrales de todas las funciones simples $s$ tal que $0 \le s \le f$ . Como todas estas integrales son $0$ el supremum es $0$ también.

Como toda función real $f$ puede escribirse como $f = f^+ - f^-$ donde $f^+$ y $f^-$ son ambas no negativas, tenemos $\int_E f \, d\mu = 0$ también. El resultado general se deduce del hecho de que toda función compleja $f$ puede escribirse como $f = u + i v$ donde $u$ y $v$ son reales.

Answer 2

Considera que $$\int_E f(x)\leq \sup|f(x)|\cdot m(E).$$ Con la convención que $\infty\cdot 0=0$ tenemos $$\left|\int_E f(x)\right|\leq \sup|f(x)|\cdot m(E)=0.$$

Answer 3

Hola, esto se preguntó hace más de 7 años, así que estoy seguro de que esto ya no es relevante para usted en particular, pero pensé que iba a responder a esto para la gente en el futuro que podría ser una respuesta ligeramente diferente. De hecho, esta afirmación es válida para cualquier medida, no sólo para Lebesgue.

En primer lugar, un poco sobre la notación que utilizaré:
$\mathbb{1}_A$ es la "función indicadora" del conjunto $A$ puede haber visto esto como $\chi_A$ o $\mathcal{1}_A$ o cualquier otra cosa. Simplemente toma el valor $1$ en $A$ y $0$ de lo contrario.

Esta prueba requerirá:

Teorema 1:
Si $f = g$ $ \mu$ casi en todas partes entonces $\int f d\mu = \int g d\mu$

(Se puede encontrar una demostración de este teorema al final de esta respuesta, pero es un resultado bastante sencillo en la mayoría de los cursos de teoría de la medida).

Prueba del resultado principal

Queremos demostrar que $\int_A f d \mu = 0 $ siempre que $\mu(A) = 0 $

En primer lugar $\int_A f d \mu = \int f \mathbb{1}_A d\mu $

En segundo lugar, la función $g := f \mathbb{1}_A $ es $0$ casi en todas partes, ya que por la definición de las funciones indicadoras sólo es distinto de cero en $A$ que de nuevo tiene la medida cero de la pregunta.

Más formalmente, definamos $ N := \{ x \in X | g(x) \not = 0 \} $ cualquier $x \in N $ debe estar en $A$ porque $g(x)$ para $x \not \in A = 0 $ por lo que $N \subseteq A$ Por lo tanto, $\mu(N) = 0 $ (monotonicidad de la medida)

Por lo tanto, $g = 0 $ en casi todas partes y, por tanto, por el Teorema 1:
$\int_A f d\mu = \int f \mathbb{1}_A d \mu = \int g d\mu = $ (Teorema 1) $ = \int 0 d\mu = 0 $