Antiderivada problema

Question

¿Cuál es la antiderivada de $(2x+7)^{1/2}$?

Mi entendimiento es que sería $\frac 23 \times(2x+7)^{3/2}$, pero de acuerdo a la fuente de la que estoy trabajando desde la respuesta es $\frac 13 \times (2x+7)^{3/2}$.

Answer 1

$$\int\sqrt{(2x+7)}dx$$

Set $t=2x+7$ $dt=2dx$

$$=\frac 1 2\int\sqrt tdt=\frac{t^{3/2}}{3}+\mathcal C=\frac{(2x+7)^{3/2}}{3}+\mathcal C$$

Answer 2

Aviso:

$$\int x^n\space\text{d}x=\frac{x^{1+n}}{1+n}+\text{C}$$

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$$\int\sqrt{2x+7}\space\text{d}x=$$

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Sustituto $u=2x+7$$\text{d}u=2\space\text{d}x$:

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$$\frac{1}{2}\int\sqrt{u}\space\text{d}u=\frac{1}{2}\int u^{\frac{1}{2}}\space\text{d}u=\frac{1}{2}\cdot\frac{u^{1+\frac{1}{2}}}{1+\frac{1}{2}}+\text{C}=\frac{u^{\frac{3}{2}}}{3}+\text{C}=\frac{(2x+7)^{\frac{3}{2}}}{3}+\text{C}$$

Answer 3

$$(2x+7)^{1/2}=2^{1/2}(x+\frac72)^{1/2}\to2^{1/2}\frac1{\frac32}(x+\frac72)^{3/2}=\frac{2^{3/2}}3(x+\frac72)^{3/2}=\frac{(2x+7)^{3/2}}3.$$