Si $f:X \rightarrow \Bbb{K}$ es lineal y funcional,a continuación, $\textbf{Ker}(f)$ es la máxima subespacio de $X$?

Question

Deje $f$ ser un funcional lineal sobre el espacio vectorial $X$.

$K$ es un Campo que puede ser $\Bbb{R}$ o $\Bbb{C}$.

Deje $Z(f)$ denotar el núcleo de $f$

La Máxima subespacio de $f$ :

$Z$ se dice que es la máxima subespacio de $X$ si para cualquier subespacio $Z_{1}$ $Z \subset Z_{1} \subset X$ entonces $Z = Z_{1}$ o $X = Z_{1}$

definición 2 :

$Z$ es la máxima subespacio de $X$ $\textbf{iff}$ $\textbf{span}(Z \cup \{a\}) = X$ para cualquier $a \in X\setminus Z$.

Para $f$ un funcional lineal en $X$. Ahora yo estaba pensando en probar que $Z(f)$ es la máxima subespacio de $X$.

Para probar he pensado en esto - Supongamos $Z \neq Z_{1}$, entonces tenemos que mostrar que $Z_{1} = X$,pero, ¿cómo puedo continuar con esto?

$\textbf{EDIT}:$

Asimismo, como se señaló en los comentarios si $X$ es finito dimensionales o de infinitas dimensiones?.Así que sería interesante ver si los dos caso similar o hay algún tratamiento diferente o consecuencias en la prueba de los dos casos?

Cualquier ayuda es grande.

Answer 1

Nina Simone dio ya el camino para la prueba, que es independiente de la dimensión de $X$. Acabo de mejorar el argumento.

$Z$ se dice que es la máxima subespacio de $X$ si para cualquier subespacio $Z_1$ $Z\subset Z_1\subset X$ entonces $Z_1=Z$ o $Z_1=X$.

Es un poco más cómodo de usar

$Z$ se dice que es la máxima subespacio de $X$ si para cualquier subespacio $Z_1$ $Z\subsetneq Z_1\subseteq X$ tiene $Z_1=X$.

Consideremos $z\in Z_1\setminus Z\neq \emptyset$. Llegamos $f(z)\neq 0$ desde $z\notin Z$. Para cada una de las $x\in X$ podemos escribir $$ x=\underbrace{\frac{f(x)}{f(z)}z}_{\en Z_1}+\underbrace{\left(x-\frac{f(x)}{f(z)}z\right)}_{\Z} $$ desde $f\left(x-\frac{f(x)}{f(z)}z\right)=0$. De $Z\subseteq Z_1$ llegamos a la conclusión de $x\in Z_1$. Desde $x\in X$ era arbitraria, llegamos a la conclusión de $X\subseteq Z_1$ y, por tanto,$Z_1=X$.