$N\rtimes H$ es isomorfo a $N'\rtimes H$ en $H$ entonces $N\simeq N'$ ?

Question

Dejemos que $s:H\hookrightarrow G$ ser una inclusión de grupos y $f,f':G\to H$ sean dos morfismos s.t. $f\circ s = f'\circ s = \mathrm{id}_H$ . Entonces podemos concluir que $\mathrm{Ker}(f) \simeq \mathrm{Ker}(f')$ ? (El título es una versión equivalente de la pregunta)

Answer 1

Dejemos que $G = \langle x,y,z \mid x^3=y^2=z^2=(xy)^2=[x,z]=[y,z]=1 \rangle \cong D_6 \times C_2$ (donde $D_6$ significa diédrico de orden $6$ ), y $H = \langle y \rangle$ .

Definir $f_1:G\to H$ por $x \mapsto 1$ , $y \mapsto y$ , $z \mapsto 1$ y $f_2:G\to H$ por $x \mapsto 1$ , $y \mapsto y$ , $z \mapsto y$

Entonces $\ker(f_1) = \langle x,z \rangle \cong C_6$ y $\ker(f_2) = \langle x,yz \rangle \cong D_6$ .