Otro sencillo de convergencia de series pregunta

Question

Me pidió determinar si $\displaystyle\sum\limits_{n=3}^\infty \frac1{n (\ln n)\ln(\ln n)}$ converge. Así, el uso de Cauchy de la Prueba de Condensación, que reduce el problema a una de determinar la convergencia de $\displaystyle\sum\limits_{n=3}^\infty\frac 1{n\ln (n\ln 2)}$. Estoy en el camino correcto, y cómo proceder a partir de aquí?

Answer 1

Si $a_n$ es finalmente nonincreasing, a continuación, $\sum a_n$ converge iff $\sum 2^na_{2^n}$ converge (prueba de condensación de Cauchy). Esto nos lleva de $$\sum\frac 1{n\ln n \ln\ln n}$$ a $$\sum\frac {2^n}{2^n\cdot n\ln 2 \cdot (\ln n + \ln\ln 2)}=\sum\frac {1}{n\ln 2 \cdot (\ln n + \ln\ln 2)}$$ y, a continuación, a $$\sum\frac {2^n}{2^n\ln 2 \cdot (n \ln 2 + \ln\ln 2)}=\sum\frac {1}{n\ln^2 2 + \ln2\cdot\ln\ln 2}$$ que es esencialmente la serie armónica.

Answer 2

Aplicar directamente integral de la prueba

$$\int_3^{\infty}\frac{(\ln(\ln x))'}{ \ln(\ln x)}\mathrm{dx}= \left[\ln(\ln(\ln(x)))\right]_3^{\infty}\longrightarrow \infty$$

Answer 3

Desde $\ln 2 $ es constante $\frac 1{n\ln (n\ln 2)} $ es comparable a $\frac 1{n\ln (n)}$ puede utilizar integral de la prueba aquí.

Answer 4

Observar que

$$\frac{d}{dx}(\ln\ln x)=\frac1{\ln x}\cdot\frac{d}{dx}(\ln x)=\frac1{x\ln x}$$

y el uso de la integral de la prueba.