Deje $E|F $ ser una extensión de campo y $f,g$ $\in$ $F[x]$ (el polinomio anillo con coeficientes en $F$ ). Vamos a denotar con $(f,g)_F$ el máximo común divisor de a$f$$g$$F[x]$. Es cierto que $(f,g)_F$ $=$ $(f,g)_E$ ?
Respuestas
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Per Hornshøj-Schierbeck
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Aquí está una perspectiva ligeramente diferente a las respuestas publicadas: Como Bill Dubuque observa en su respuesta, dividiendo $f$ $g$ a través de su MCD, usted puede reducir al caso donde $f$ $g$ son coprime (es decir, tienen MCD igual a $1$), y, a continuación, usted tiene que demostrar que permanecen coprime en $E[x]$.
Sin duda, uno puede deducir esta usando el algoritmo de Euclides (más precisamente, uno puede encontrar la $h(x)$ $k(x) \in F[x]$ tal que $f h + g k = 1$, y esta ecuación persiste en $E[x]$, mostrando que el $f$ $g$ son coprime en esa llamada así), pero también se puede deducir esto por el hecho de que coprime polinomios no tienen en común el cero en $\overline{F}$ (el algebraicas cierre de $F$), por lo tanto no tienen en común el cero en $\overline{E}$ (el algebraicas cierre de $E$), y por lo tanto permanecen coprime en $E[x]$.
También: ver esta pregunta y sus respuestas para otra discusión de la persistencia de coprimality en el campo de las extensiones. (El párrafo anterior es essentialy un resumen de las respuestas a esas preguntas.)
David HAust
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SUGERENCIA $\ $ Es de la siguiente manera bastante trivial el hecho de que las propiedades que son definibles por la existencia de soluciones para el anillo de ecuaciones necesariamente persisten en anillos de extensión. Por lo tanto la propiedad de ser un divisor común claramente persiste en la extensión de los dominios, y la propiedad de ser un mayor común divisor también persiste puesto que se deduce del hecho de la que el mcd es representable como combinación lineal (identidad de Bezout), y esta identidad necesariamente persiste en extensiones.
Si bien esto es cierto para todos los puramente existencial $(\exists_1)$ propiedades que no es cierto para propiedades más generales. E. g. universal $(\forall)$ properities (leyes), por lo general no se conservan, por ejemplo, un anillo de extensión de un anillo conmutativo no necesita ser conmutativa. Tal persistencia propiedades son objeto de estudio en longitud cuando uno estudia el modelo de teoría = álgebra universal + lógica.
