¿Cómo puedo visualizar cómo lucen los conjuntos abiertos en espacios topológicos desconocidos?

Question

La pregunta es extremadamente general, pero tengo un caso específico que me gustaría analizar, y espero que alguna combinación de indicaciones específicas y consejos generales me ayude.

Considera los siguientes conjuntos:

• $\textrm{St}_k(\mathbb{R}^n) := \{ (\bar{v_1}, … , \bar{v_k}) \in (\mathbb{R}^{n})^{k} \ | \ \bar{v_1}, … , \bar{v_n} \text{ son linealmente independientes en } \mathbb{R}^n \}$,

• $\textrm{St}^0_k(\mathbb{R}^n) := \{ (\bar{v_1}, … , \bar{v_k}) \in (\mathbb{R}^{n})^{k} \ | \ \bar{v_1}, … , \bar{v_n} \text{ son ortogonales en } \mathbb{R}^n\}$,

• $\textrm{Gr}_k(\mathbb{R}^n) := \{ U \subset \mathbb{R}^{n} \ | \ U \text{ es un subespacio de } \mathbb{R}^n \text{ con dimensión }k \}$.

Sabemos que $\textrm{St}^0_k(\mathbb{R}^n) \subset \textrm{St}_k(\mathbb{R}^n)$. Podemos dar a $\mathbb{R}^{nk}$ la topología del producto estándar (que es fácil de visualizar), y así podemos dar a los manifold de Stiefel, $\textrm{St}^0_k(\mathbb{R}^n)$ y $\textrm{St}_k(\mathbb{R}^n)$, la topología de subespacio (no tan fácil de visualizar... para mí al menos). Además, tenemos un mapa sobreyectivo desde cualquiera de los dos tipos de manifolds de Stiefel hacia el Grassmanniano, $\textrm{Gr}_k(\mathbb{R}^n)$, que envía un conjunto linealmente independiente a su espacio vectorial; la misma topología cuociente surge de cualquiera de estos mapas (esta topología es especialmente difícil para mí de visualizar).

Mis preguntas son:

¿Cómo puedo visualizar los conjuntos abiertos (o incluso solo los conjuntos abiertos básicos) de estos espacios? ¿Hay alguna herramienta teórica/teorema importante que pueda usar para comprender mejor las topologías en estos espacios (sin necesariamente tener la intuición geométrica para ellos)? ¿Hay algún patrón de pensamiento que debería seguir cada vez que tengo problemas para entender cómo lucen los conjuntos abiertos de los espacios, en general?

Hasta ahora mi exposición a la topología ha sido bastante elemental, así que espero que las respuestas no presupongan mucho conocimiento (aunque estoy listo para estudiar tanto como sea necesario para entenderlas).

¡Gracias de antemano por la ayuda!

Answer 1

Existen varios enfoques intuitivos para la topología, a saber:

• Intuición proveniente de conjuntos abiertos: incluye vecindades.
• Intuición proveniente de conjuntos cerrados: incluye puntos límite.
• Intuición proveniente de aplicaciones continuas de un espacio topológico modelo al espacio en cuestión: incluye trayectorias y embebimientos.
• Intuición proveniente de aplicaciones continuas del espacio en cuestión a espacios más simples: incluye funciones continuas (reales u otros) y proyecciones.

Cabe mencionar que el enfoque de las vecindades nunca requiere imaginar ninguna posible vecindad, podemos limitarnos a una base conveniente de la topología (bolas abiertas, intervalos abiertos y sus productos, etc.).

Ninguno de estos enfoques requiere un esfuerzo mental significativo en el caso de St_<em>k</em>: los cuatro conceptos se pueden implementar como k vecindades alrededor de cada vector no intersectado simultáneamente por ningún espacio lineal k − 1, límites componentes, trayectorias k con restricciones necesarias, y una función de k puntos respectivamente.

Gr_<em>k</em> no es muy difícil: subespacios lineales que evitan algún conjunto compacto que encierra U, convergencia de subespacios (que son subconjuntos cerrados e incluso compactos dentro de la bola unitaria cerrada), un sistema de ecuaciones lineales (especificando U) cuyos coeficientes dependen de un parámetro adicional, y una funcional continua en operadores lineales de U a U⊥ (es decir, sistema de coordenadas local en el Grassmaniano) respectivamente.

Puede surgir un problema parcial con St0_<em>k</em> (una vecindad en bases ortonormales, ¿qué es eso?), pero se puede compensar con otros modos de visualización. Por ejemplo, St0_<em>k</em> es un subconjunto cerrado en St_<em>k</em>.