Convergente o divergente $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{e^nn!}{n^n}$?

Question

Cualquier sugerencia/sugerencia, no es toda la solución, cómo determinar la convergencia/divergencia de $$ \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{e^n \cdot n!}{n^n} $$ actualmente estoy atascado.

Answer 1

Sugerencia: puede utilizar la aproximación de Stirling

Answer 2

Parece que la sucesión es decreciente: intente $\displaystyle\frac{a_n}{a_{n+1}}$.

Answer 3

OK, disculpas, puedo tomar mis propias palabras acerca de la aproximación de Stirling. En T. Worsch el artículo de 'límites Inferior y superior en los coeficientes binomiales' se muestra que $n!$ puede ser inferior delimitada por $(\epsilon>0)$ $$ n! > \frac{1}{1+\epsilon} \bigg(\frac{n}{e}\bigg)^n\sqrt{ 2 \pi n} $$ Si utiliza este límite inferior en la suma que usted tiene, usted va a obtener de inmediato la divergencia de la serie.