¿Cuál es el volumen de $\{ (x,y,z) \in \mathbb{R}^3_{\geq 0} |\; \sqrt{x} + \sqrt{y} + \sqrt{z} \leq 1 \}$?

Question

Tengo que calcular el volumen del conjunto

$$\{ (x,y,z) \in \mathbb{R}^3_{\geq 0} |\; \sqrt{x} + \sqrt{y} + \sqrt{z} \leq 1 \}$$

y lo hice, mediante la evaluación de la integral

$$\int_0^1 \int_0^{(1-\sqrt{x})^2} \int_0^{(1-\sqrt{x}-\sqrt{y})^2} \mathrm dz \; \mathrm dy \; \mathrm dx = \frac{1}{90}.$$

Sin embargo, un amigo mío me dijo que su asistente, el profesor le dio las soluciones numéricas y resulta que la solución debe ser $\frac{1}{70}$. También, me enteré de que este sería el resultado de la integral

$$\int_0^1 \int_0^{1-\sqrt{x}} \int_0^{1-\sqrt{x}-\sqrt{y}} \mathrm dz \; \mathrm dy \; \mathrm dx,$$

que es casi la misma que la mía sólo la falta de plazas en los límites superiores. Mi pregunta es: Es la solución proporcionada por el profesor asistente mal o por qué tengo que calcular la integral del cuadrado sin límites superiores?

También, hay alguna herramienta para calcular el volumen de este tipo de series sin saber cómo se tiene que integrar?

Gracias por la respuesta de antemano.

Answer 1

Un integrante $(*)\ \int_B f(x){\rm d}(x)$ durante tres dimensiones de dominio $B$ depende de la expresión exacta para $f(x)$, $\ x\in{\mathbb R}^n$, y en la forma exacta del dominio $B$. La segunda es generalmente definido por un conjunto de desigualdades de la forma $g_i(x)\leq c_i$. La información sobre $B$ tiene que ser introducida en el curso de la reducción de la integral de la $(*)$ a una secuencia anidada de las integrales. Así que, como regla general, hay una gran cantidad de trabajo involucrado en el proceso de reducir todo el cálculo y la evaluación de los elementos primitivos.

Ahora, a veces, no hay otra forma de manipulación de las integrales: tal vez podamos establecer una representación paramétrica de $B$ con un parámetro de dominio $\tilde B$ que es un estándar de objetos geométricos como una simple, una caja rectangular o mitad de la esfera. En el caso que nos ocupa, podemos usar la representación $$g: \quad S\to B,\quad (u,v,w)\mapsto (x,y,z):=(u^2,v^2,w^2)$$ que produce $B$ como esencialmente 1-1 imagen de la norma simplex $$S:=\{(u,v,w)\ |\ u\geq0, v\geq0, w\geq 0, u+v+w\leq1\}\ .$$ En el proceso, tenemos que calcular el Jacobiano $J_g(u,v,w)=8uvw$ y obtener la siguiente fórmula: $${\rm vol}(B)=\int_B 1\ {\rm d}(x)= \int_S 1 \> J_g(u,v,w) \> {\rm d}(u,v,w)=\int_0^1\int_0^{1-u}\int_0^{1-u-v} 8uvw \> dw dv du ={1\over 90}\ .$$ (En este ejemplo en particular la simplificación es sólo marginal.)