En clase, hemos demostrado la Arzela-Ascoli teorema de $\mathbb R$. El profesor dijo que también es cierto para $\mathbb R^n$, y esta versión es deducible de $\mathbb R$. Traté de hacerlo pero no pudo. ¿Cómo hace uno para inferir esta generalización?
Para el registro, el teorema que quiero decir es:
Teorema. Deje $X$ ser un espacio métrico compacto. A continuación, un subconjunto de a $C(X,\mathbb R)$ es compacto si es cerrado, equicontinuous, y totalmente acotado.
No sé el Arzela-Ascoli la prueba de que usted ha usado para un segmento de $[a,b] \subset \mathbb R$. Sin embargo, si usted mira en la Wikipedia la prueba, verás que lo único que requieren es una enumeración de los racionales del segmento $[a,b]$.
Usted puede imitar esta prueba mediante una enumeración de los puntos del pacto $X \subset \mathbb R^n$ tener racional de coordenadas (como este conjunto es contable) para obtener la generalización que estás buscando.
Tenemos una canónicas de identificación de $C(X,\mathbb{R}^n) \cong \bigl(C(X,\mathbb{R})\bigr)^n$. No sólo como conjuntos, pero como espacios topológicos. Por definición de la topología producto, las coordenadas de las proyecciones de $\pi_k \colon C(X,\mathbb{R}^n) \to C(X,\mathbb{R})$ son continuas. Así que si $K \subset C(X,\mathbb{R}^n)$ es compacto, por lo que es$K_k := \pi_k(K)$$1 \leqslant k \leqslant n$. Por el caso conocido de $C(X,\mathbb{R})$, se deduce que el $K_k$ es uniformemente acotada y equicontinuous. Ahora tenga en cuenta que esto implica que
$$\prod_{k = 1}^n K_k \subset \bigl(C(X,\mathbb{R})\bigr)^n \cong C(X,\mathbb{R}^n)$$
es uniformemente acotada y equicontinuous. Este es el más conveniente para ver si usamos la norma máxima en $\mathbb{R}^n$. Desde
$$K \subset \prod_{k = 1}^n K_k$$
de ello se desprende que $K$ es uniformemente acotada y equicontinuous. Como un subconjunto compacto de un espacio de Hausdorff, $K$ también está cerrada.
Por el contrario, si $S \subset C(X,\mathbb{R}^n)$ es uniformemente acotada y equicontinuous, entonces los conjuntos de $S_k := \pi_k(S)$ son uniformemente acotadas y equicontinuous. Por lo tanto $\overline{S_k}$ es un subconjunto compacto de $C(X,\mathbb{R})$$1 \leqslant k \leqslant n$. Por Tíkhonov del teorema (bueno, una pequeña parte de ella),
$$K := \prod_{k = 1}^n \overline{S_k} \subset \bigl(C(X,\mathbb{R})\bigr)^n \cong C(X,\mathbb{R}^n)$$
es compacto. Por construcción, $S\subset K$, por lo tanto $\overline{S} \subset K$, e $\overline{S}$ es compacto como un subconjunto cerrado de un conjunto compacto.
He utilizado sin la prueba de que acotamiento uniforme y equicontinuity se conservan bajo las proyecciones y de los productos. Estas cosas no son difíciles de probar.
I-Ciencias es una comunidad de estudiantes y amantes de la ciencia en la que puedes resolver tus problemas y dudas.
Puedes consultar las preguntas de otros usuarios, hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.
