Producto libre de la trivial grupo con otro grupo

Question

Soy nuevo en la idea de un producto gratuito.. Básicamente me preguntaba si G es arbitraria grupo y 1 es la trivial grupo, a continuación, se $1\star G \cong G$. Si no.. lo que debe ser?

Answer 1

Ya que has etiquetado es algebraica topología, tal vez usted está aprendiendo acerca de los productos en una topología de curso? En este caso, si $X$ es un espacio con grupo fundamental de la $G$, $1*G$ es el grupo fundamental de que usted obtenga el espacio $X$ con un punto pegado a un punto de $X$, sólo isomorfo a $X$ de nuevo,$1*G\cong G$.

Answer 2

Sí, $1*G\cong G$. Una prueba dependerá de la definición o construcción de productos libres sabes o te gusta. Utilizando la definición como el subproducto en la categoría de grupos, la prueba consiste en observar que, para cada grupo de $H$, hay un bijection entre el conjunto de homomorphisms $G\to H$ y el conjunto de pares de homomorphisms, la primera $1\to H$ y el segundo $G\to H$, porque hay exactamente un homomorphism $1\to H$. (En general, un subproducto de un objeto inicial y un objeto cualquiera $X$ es isomorfo a $X$.)

Answer 3

Sí.

Para cualquier grupo de $H$, tenemos $$\hom(1*G, H) \simeq \hom(1, H) \times \hom(G, H) \simeq \hom(G, H).$$ By the Yoneda lemma, it follows that $1* G \simeq G$.

Answer 4

Es cierto que $1 * G \cong G$. El trivial grupo contiene sólo un elemento de identidad, que se identifica con el elemento de identidad de $G$ para formar el producto libre.

Answer 5

Tienes razón, $1\star G\cong G$. Para cualquier grupo de $X$ y homomorphisms $1\to X$ $G\to X$ hay un único homomorphism $G\to X$ que hace que el requerido diagramas conmutan - este es simly así porque un homommorphism de $1$ a un grupo no es de ninguna manera una restricción o condición.