partioning de $X$ tal que $f_n$ converge uniformemente a $f$

Question

Vamos a una medida de $\sigma$-finito y supongamos $f_n \rightarrow f$.e.. Muestran que no existe $E_k$ y un valor null-establecer $F$ partioning $X$ tal que $f_n$ converge uniformemente a $f$ en cada una de las $E_k$.

Yo estaba tratando de deducir de Egorova del Teorema de http://mathworld.wolfram.com/EgorovsTheorem.htmlpero yo no puedo trabajar, y parece que se contradice con la afirmación de que Egorova del Teorema no es para $\epsilon=0$.

Gracias!

Answer 1

Deje $X=F_1\cup F_2\cup F_3\cup\cdots$ donde $F_1\subseteq F_2\subseteq F_3\subseteq\cdots$ $F_k$ tiene medida finita. Pick $E_k\subseteq F_k$, de modo que $f_n\to f$ uniformemente en $E_k$, e $\mu(F_k\setminus E_k)<2^{-n}$. Creo que se puede construir desde allí.