¿El poder de la regla de exponentes irracionales presionado para x<0?

Question

Dada la potencia de la regla de $D(x^n) = n \cdot x^{n-1}$:

Mi cálculo, el libro es que para irracional $n$, que tiene de $x > 0$. Wikipedia el artículo sobre el Poder de la Regla me confunde porque no hace mención alguna de esta limitación. Y se le da un problema como $D(x^π)$, mi libro no da una respuesta con el límite de $x>0$. (Es que debido a $x^π$ es, en sí misma no se define si $x\not>0$, por lo que es "por definición" limitado?)

Entonces, ¿hay alguna extensión no sé de que se extiende a $x\leq0$?

Answer 1

Depende. Una posible definición de $x^\alpha$ $\alpha $ un número real es

$$ x^\alpha = e^{\alpha \cdot \ln x} \ . $$

Por supuesto, si estás hablando de real funciones, entonces esta expresión no está definida para $x\leq 0$. Pero si por $\ln$ que significa el complejo de logaritmo, entonces tiene sentido perfectamente y se puede comprobar que la regla para derivar sigue siendo cierto. Es decir,

$$ D(x^\alpha) = \alpha \cdot x^{\alpha - 1} \ . $$

Answer 2

Para el negativo $x$, no hay manera de definir una real $x^\alpha$ si $\alpha$ es irracional. El (completa, continua como sea posible) definición de las competencias es que $x^\alpha = \mathrm{e}^{\alpha \ln x}$, cuando se $x$ es negativo no es $\ln x$ en los reales.