Relativa a la QiaochuYuan del comentario. Puede parecer un poco difícil, pero tal vez usted puede utilizar algo de ella. Si usted no desea ir a través de orbifold tal vez esta discusión puede ayudarle a :
$\pi_1$ $H_1$ Simétrica Producto de superficies
En lugar de buscar topológicamente $\mathbb{T}^n/S_n$ se puede decir que es un orbifold (es decir, casi en todas partes una múltiple pero con algunos puntos singulares : su barrio aparece como finito cociente $V/G$ donde $V$ es una costumbre gráfico y $G$ un grupo finito de actuar sobre él, ver Thurston : http://library.msri.org/books/gt3m/PDF/13.pdf o este papel https://people.math.osu.edu/davis.12/papers/lectures%20on%20orbifolds.pdf). Lo bueno de esto, es que cuando $\Gamma$ actúa correctamente (y no sólo libremente) en un colector $M$ $M/\Gamma$ es un orbifold (ok no ganamos nada aquí). El uso de algunos de la teoría de Galois de orbifold revestimientos se obtiene que :
$$1\rightarrow \pi_1^{Orb}(\mathbb{T}^n)\rightarrow \pi_1^{Orb}(\mathbb{T}^n/S_n)\rightarrow Aut(q)\rightarrow 1 $$
Por otra parte $\pi_1^{Orb}$ es construida como la automorphism grupo de el universal orbifold tapa de modo que coincide con la noción topológica en el colector. Es fácil ver que $Aut(q)$ todavía se $S_n$ por lo que :
$$1\rightarrow \mathbb{Z}^n\rightarrow \pi_1^{Orb}(\mathbb{T}^n/S_n)\rightarrow S_n\rightarrow 1 $$
Por lo que el $\underline{\text{orbifold}}$ grupo fundamental de la $\mathbb{T}^n/S_n$ aparece como una extensión de $S_n$$\mathbb{Z}^n$.
Realmente creo que su orbifold grupo fundamental de la realidad será :
$$\mathbb{Z}^n\rtimes_{\phi} S_n $$
Donde $\phi(\sigma)(a_1,...,a_n)=(a_{\sigma(1)},...,a_{\sigma(n)})$. No es tan difícil ver por qué. Yo reclamo que la extensión escribí arriba está dividido.Que es lo que puede encontrar un subgrupo de $\pi_1^{Orb}(\mathbb{T}^n/S_n)$ isomorfo a $S_n$ cuya intersección con $\mathbb{Z}^n$ es trivial. En efecto, por definición :
$$\pi_1^{Orb}(\mathbb{T}^n/S_n)=Aut(\text{universal cover of }\mathbb{T}^n/S_n) $$
Pero la cobertura universal (universal propiedad) de $\mathbb{T}^n/S_n$ debe ser el mismo que la cobertura universal de $\mathbb{T}^n$. Por lo tanto para ver el $\pi_1^{Orb}(\mathbb{T}^n/S_n)$ es suficiente para entender el automorphism grupo de esta universalización de la cobertura :
$$p: \mathbb{R}^n\rightarrow \mathbb{T}^n/S_n $$
$$(x_1,...,x_n)\mapsto (x_1\text{ mod } \mathbb{Z},...,x_n\text{ mod } \mathbb{Z})\text{ mod } S_n $$
Afirmo que para $\sigma\in S_n$ :
$$\phi_{\sigma}: \mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}^n$$
$$(x_1,...,x_n)\mapsto (x_{\sigma(1)},...,x_{\sigma(n)})$$
es en $Aut(p)$ y $\sigma\mapsto \phi_{\sigma}$ es una función inyectiva, que es una de morfismos (o tal vez un antimorphism pero eso no cambia nada aquí) y le da un subgrupo $H$ $\pi_1^{Orb}(\mathbb{T}^n/S_n)$ isomrphic a $S_n$. Claramente $\phi(\sigma)$ (a menos que $\sigma$ es trivial) no va a arreglar fibras de más de $\mathbb{T}^n$ por lo tanto $H\cap\mathbb{Z}^n$ es trivial. No es difícil ver que la acción por la conjugación de la $H$ $\mathbb{Z}^n$ es el que te di anteriormente y hemos terminado.
Lo que queda es relacionar $\pi_1^{Orb}(\mathbb{T}^n/S_n)$$\pi_1(\mathbb{T}^n/S_n)$. Hay un conocido surjection de $\pi_1^{Orb}(\mathbb{T}^n/S_n)$ $\pi_1(\mathbb{T}^n/S_n)$ (esencialmente, mirando orbifold curvas y olvidando que son orbifold a mirar como topológica de las curvas de la base topológica del espacio). El núcleo de este mapa puede ser visto como el subgrupo generado por los locales isotropies (para hacer esto usted debe saber la interpetation de $\pi_1^{Orb}$ orbifold bucles alrededor de un punto modulo algunos homotopy relación). El uso de este tenemos un surjective grupo de morfismos :
$$\psi : \pi_1^{Orb}(\mathbb{T}^n/S_n)\rightarrow \pi_1(\mathbb{T}^n/S_n) $$
Y un buen entendimiento de este morfismos le da a usted que :
$$Ker(\psi)=<<H>> $$
El grupo generado por todos los conjugados de la $H$. Es fácilmente visto (que trabajan en el semi-directa de la estructura del producto) que :
$$Ker(\psi)=<((a_1-a_{\sigma(1)},...,a_n-a_{\sigma(n)}),\sigma)> $$
Para finalizar, si denotamos $K$ a ser el núcleo de :
$$\mathbb{Z}^n\rightarrow \mathbb{Z} $$
$$(a_1,...,a_n)\mapsto \sum_{i=1}^na_i $$
Yo reclamo que $Ker(\psi)=K\rtimes_{\phi} S_n$. Primera $Ker(\psi)\cap \mathbb{Z}^n$ es fácilmente visto en $K$, en segundo lugar $Ker(\psi)$ surjects en $\mathfrak{S}_n$. De modo que el no-trivial es sólo para mostrar que la $K\subseteq Ker(\psi)\cap \mathbb{Z}^n$ porque $Ker(\psi)\cap \mathbb{Z}^n$ contiene $(1,0,...,0,-1,0,...,0)$ cuando la $-1$ es a $i$-ésimo lugar para todos los $i$. Para ello, basta con darse cuenta de que :
$$((1,0...,0,-1,0,...,0),(1,i))\text{ and } ((0,...,0),(1,i))\text{ are in } Ker(\psi)$$
Por lo tanto el producto es $Ker(\psi)$ así :
$$((1,0...,0,-1,0,...,0),(1,i)).((0,...,0),(1,i))=((1,0...,0,-1,0,...,0),(1,i)^2)=((1,0,...,0,-1,0,...,0),Id)\in Ker(\psi)\cap \mathbb{Z}^n$$
Esto muestra que :
$$Ker(\psi)=K\rtimes_{\phi}S_n $$
Finalmente el cociente de $\pi_1^{Orb}(\mathbb{T}^n/S_n)$ $Ker(\psi)$ es fácilmente visto para ser isomorfo a $\mathbb{Z}^n/K=\mathbb{Z}$ por lo tanto :
$$\pi_1(\mathbb{T}^n/S_n)=\mathbb{Z} $$
