Si $X$ es el conjunto de todos los elementos del grupo de orden $p$, e $X$ es finito, entonces $\langle X \rangle$ es finito

Question

Supongamos $G$ es cualquier grupo y $X$ es el conjunto de todos los elementos de orden $p$ en ese grupo donde $p$ es un primo. Probar que si $X$ es finito, entonces $\langle X\rangle$ es finito, donde $\langle X\rangle$ es el grupo generado por los elementos de la $X$.

Si es posible, estoy interesado en una solución que asume como pocos teoremas como sea posible (aparte de los conocidos, por supuesto).

Answer 1

Usted puede muy bien suponer que los $G = \langle X \rangle$. Ya que los elementos de $X$ tiene sólo un número finito de conjugados, sus centralizadores de en $G$ han finito índice en $G$, y por lo tanto también lo hace su intersección, que es $Z(G)$.

Por lo $|G:Z(G)|$ es finito. Hay un teorema (que probablemente prefieren evitar el uso, pero por el momento no veo cómo) que $|G:Z(G)|$ finito implica $G'$ es finito y, a continuación, ya que el resultado es claramente cierto para abelian grupos, $G/G'$ es finito y por lo tanto también lo es $G$.

Answer 2

Otra manera de probar que esto es mediante la aplicación de una clásica resultado llamado Dietzmann del Lexema (para una prueba de ver por ejemplo el libro de Derek Robinson, la Finitud de las Condiciones y Generalizada Soluble en Grupos, Parte 1.) Lo que implica que si usted tiene un conjunto finito $X$ en un grupo de $G$, sólo contiene elementos de orden finito y es cerrado bajo la conjugación, a continuación, $\langle X \rangle$ es finito.