La división de tetraedro regular

Question

Un triángulo equilátero puede ser dividido en pequeños triángulos equiláteros dibujando $n$ líneas paralelas a cada lado con igual espaciamiento, como en esta imagen se muestra:

Por otra parte, los vértices pueden ser etiquetados con $1,2,3$, de modo que cada pequeño triángulo que contiene exactamente un de $1,2,3$. Para ello, comenzamos con $1$ en la primera fila, $2,3$ en la segunda fila, $3,1,2$ en la tercera fila, y así sucesivamente.

Hay un análogo de la división y el etiquetado de las dimensiones superiores? Por ejemplo, si partimos de un tetraedro regular?

Answer 1

Como ya se señaló en un comentario por Moishe Cohen y especialmente el comentario por Alex Ravsky, la respuesta es negativa. Vamos atención restringido a la tetraedro regular: la división de la longitud de cada arista por dos sería el resultado en $2^3 = $ ocho instancias más pequeñas de que tetraedro regular. Supongamos que tratamos de ensamblar la forma original con estos pequeños tetraedros, colocando cuatro de el $1/8$ en las esquinas de la original, para empezar. A continuación, habrá un vacío en el centro que tiene la forma de un regular octaedro. Es imposible llenar el vacío con el resto de los cuatro pequeños tetraedros. No tengo pruebas rigurosas para esto, pero que no sirva como un descargo de responsabilidad. Sólo tiene que utilizar su imaginación y usted verá:

La simplificación de los 2-D caso se muestra en la imagen de la izquierda. La imagen de la derecha es la vista superior de un 3-D de alambre modelo marco de la subdivide tetraedro regular. Los cuatro más pequeños en las esquinas de la forma original de la ABCT son: AcbP , BacQ , CbaR en la parte inferior y PQRT en el primer piso.