Si $x,y \in (0,\frac{\pi}{2})$ entonces la expresión $\sin x +\cos y +\tan^2y+\cot^2x+5>\ldots?$

Question

Problema :

Si $x,y \in (0,\frac{\pi}{2})$ entonces la expresión $\sin x +\cos y +\tan^2y+\cot^2x+5$ es siempre mayor que :

(a) $\ 7 $

(b) $\ 8 $

(c) $\ 9 $

(d) $\ $ ninguno de estos

Solución :

Podemos escribir la expresión dada $\sin x +\cos y +\tan^2y+\cot^2x+5$ como $\sin x +\cot^2x +\cos x +\tan^2y +5$

$\Rightarrow \sin x +\cot^2x +\cos y +\tan^2y +5 = \sin x + \csc^2x -1 +\cos x +\sec^2y-1+5$

$\Rightarrow \sin x + \csc^2x +\cos x +\sec^2y+3$

Por favor, guíenme cómo seguir adelante. Gracias.

Answer 1

Creo que está cometiendo un error aquí. $ \sin(x)+\cos(y)+\tan^2(y)+\cot^2(x)+5 = (\sin(x)+ \csc^2(x)) + (\cos(y)+ \sec^2(y))+ 3$ . No, lo que has escrito. Considerando que se trata de un error tipográfico, fíjate que las cosas del paréntesis son independientes, por lo que sólo encontramos el valor mínimo de cada una por separado.

Considere $f(x)=\sin(x)+\csc^2(x) \ge \sin(x)+\csc(x) \ge 2$ . (Por la desigualdad AM-GM) . Del mismo modo, considere $g(x)=\cos(y)+\sec^2(y)$

Obtenemos $7$ como respuesta .

Answer 2

No creo que la simplificación sea necesaria. Podemos simplemente analizar las funciones dentro del intervalo abierto $(0,\pi/2)$ . En primer lugar, podemos examinar el valor mínimo de $\sin x+\cot^2x$ . Cuando $x=\pi/2$ , el seno es $1$ y la cotangente es $0$ . La cotangente aumenta sin límite a medida que nos acercamos a $0$ de $\pi/2$ . Por lo tanto, podemos suponer $\sin x+\cot^2x$ es siempre mayor que $1$ en el intervalo $(0,\pi/2)$ . El mismo razonamiento se aplica a $\cos y+\tan^2 y$ Sin embargo, el mínimo estará en $y=0$ ahora, y el mínimo es de nuevo $1$ . Por lo tanto, sólo hay que añadir estos junto con $5$ y vemos que toda la función es siempre mayor que $7$ .