Las funciones racionales no pueden tomar el mismo valor un número infinito de veces?

Question

Sea $K$ un campo de característica cero. ¿Puede $f/g\in K(X)$ considerarse como una función $K\to K$ que tome el mismo valor fijo $\alpha \in K$ infinitas veces?

Por cálculo elemental, esto no ocurre si $K$ es un subcampo de $\mathbb{R}$, pero no sé cómo argumentar en general (o si el resultado es cierto).

Answer 1

Supongamos que $a$ es un elemento fijo de $K$, y $f(x)/g(x)=a$ para infinitos $x$. Entonces, para esos $x$, $f(x)=ag(x)$, por lo que $f(x)-ag(x)=0$. Por lo tanto, el polinomio $f-ag$ tiene infinitas raíces, y por lo tanto debe ser el polinomio cero. Así que para cualquier $y$, $f(y)-ag(y)=0$, por lo que $f(y)/g(y)=a$. Por tanto, hemos demostrado que cualquier función racional que tome un valor dado infinitas veces debe ser en realidad una función racional constante. Nota que la suposición de que $K$ tiene característica cero resultó ser irrelevante.

Answer 2

Define $h(x) = f(x) - \alpha g(x).$ Como un polinomio, $h$ tiene cierto grado $n.$

Answer 3

Pista $\rm\,\ \dfrac{f}g = \dfrac{h}k\,\ en\,\ S\:\Rightarrow\: fk\!-\!gh=0\,\ en\,\ S,\:$ por lo que $\rm\:|S| > deg(fk\!-\!gh)\:\Rightarrow\:fk=gh\:\Rightarrow\:\dfrac{f}g = \dfrac{h}k$

ya que un polinomio sobre un dominio con más raíces que su grado es el polinomio cero.