Encuentra eso $\lim_{a\to \infty}a^3 f(a)=?$

Question

Agradecería si alguien pudiera ayudarme con el siguiente problema:

Permitir$f(a)$ área de S,$A(a,a^2)$,$B(b,b^2)$ y$\overline{AB}=1$, dado que:

Encuentra que$$\lim_{a\to \infty}a^3 f(a)=?$ $

Lo intenté pero no pude conseguirlo de esa manera.

Answer 1

Se puede demostrar que el área por encima de un alza frente parábola, que se define por $y=q(x)$, que es cortada por la línea secante entre el $x=a$ $x=b$ es igual a $$ (b-a) \bigg( \frac13 p(a) - \frac23 q\bigg(\frac{a+b}2\bigg) + \frac13 p(b) \bigg). $$ (De hecho, este cálculo es lo que pasa en la Regla de Simpson!)

En este problema, $b\approx a+\frac1{2a}$ al $a$ es grande (esto hace que la "elevación del segmento tienden a $1$, y la de "ejecutar" tienden a $0$). Por lo tanto queremos calcular $$ \lim_{a\to\infty}^3 \cdot \frac1{2a}\bigg( \frac13 a^2 - \frac23 \bigg( a+\frac1{4} \bigg) ^2 + \frac13 \bigg( a+\frac1{2a} \bigg) ^2 \bigg) = \frac1{48}. $$ (Para hacer este cálculo riguroso, sería usar una instrucción como $b=a+\frac1{2a}+O(a^{-2})$.)

Answer 2

$${(a-b)^2+(a^2-b^2)^2}=1$$ Set $b-a=\cos \theta$ $b^2-a^2=\sin \theta$ a continuación,$a+b=\tan\theta$.

Así $$a={1\over 2}\{\tan\theta-\cos \theta\}$$ pero el área de $S$ es $$\frac{(a^2+b^2)(b-a)}{2}-\frac{b^3-a^3}{3}={(b-a)^3\over 6}$$ Por lo tanto, el límite deseado es $$\lim_{a\to\infty}a^{3}f(a)={1\over 8}\times {1\over 6}\lim_{\theta\to{\pi\over 2}}\cos^3\theta\times \big(\tan\theta-\cos \theta\big)^3={1\over 48}\lim_{\theta\to{\pi\over 2}}(\sin\theta-\cos^{2}\theta)^{3}=\color\red {{1\over 48}}$$

Answer 3

El área de S es $\frac12 (b-a) (b^2+a^2) - \frac13 (b^3-a^3) = \frac16 (b-a)^3 $.

Como $a \to \infty$, la diferencia entre $b$ $a$ se desvanece. En este caso, $$\left |\overline{AB}\right |^2 = 1 = (a-b)^2 \left [ 1+(a+b)^2 \right ] \approx (b-a)^2 (1+4 a^2) $$

Por lo tanto,

$$\lim_{a \to \infty} a^3 \frac16 (b-a)^3 = \frac16 \lim_{a \to \infty} a^3 (1+4 a^2)^{-3/2} = \frac1{48} $$

Answer 4

$$\sqrt{(b-a)^2+(b^2-a^2)^2}=1\implica \sqrt{(b-a)^2(1+(b+a)^2)}=1\\ \implica (b-a)^2(1+(b+a)^2)=1$$ $$\lim_{a\to\infty}a^3f(a)=\lim_{a\to\infty}a^3\int_a^{b}\left(\frac{b^2-a^2}{b-a}(x-a)-x^2\right){\rm d}x$$ Estas dos relaciones se puede empezar.