Mostrar la convergencia de una sucesión de funciones continuas $f_n$ a una función continua $f$ no implica la convergencia de las integrales correspondientes.

Question

Deje $f_n\in C([0,1])$ ser una secuencia de funciones que convergen uniformemente a una función $f$. Mostrar que $$\lim_{n\rightarrow\infty}\int_0^1f_n(x)dx = \int_0^1 f(x)dx.$$

Dar un contraejemplo para mostrar que el pointwise convergencia de funciones continuas $f_n$ a una función continua $f$ no implica la convergencia de las correspondientes integrales. Tengo el siguiente contraejemplo:

$$f_n(x) = \begin{cases} 2n^2 x & 0\leq x \leq\frac{1}{2n} \\ -2n^2(x-\frac{1}{n}) & \frac{1}{2n}\leq x \leq \frac{1}{n} \\ 0 & \frac{1}{n}\leq x \leq 1 \end{casos}$$

Estoy teniendo problemas para ver cómo esta función converge a 0. Yo podría estar viendo esta mal, pero cuando usted toma $n\rightarrow\infty$ no esta la función de este aspecto?

$$f_n(x) = \begin{cases} \infty & 0\leq x \leq 0 \\ \infty & 0\leq x \leq 0 \\ 0 & 0 \leq x \leq 1 \end{casos}.$$

como $n\rightarrow\infty$. Donde estoy teniendo problemas para ver las $f_n\rightarrow 0$. Estoy mirando la convergencia de funciones en un camino equivocado? Si es así, cómo debería considerar la posibilidad de ver cómo tales funciones convergen?

Sé que la integral de $\int_0^1 f_n = \frac{1}{2}$$\int_0^1\lim_{n\rightarrow\infty}f_n = 0$. También no necesito ayuda con las pruebas sobre las integrales. Sólo en el contraejemplo.

Gracias por cualquier ayuda y comentarios!

Answer 1

Tomar un punto de $x \in [0,1]$. Supongamos $x > 1/n$. A continuación, $f_n(x) = 0$ porque $f_n(z) = 0$$z > 1/n$. Tenga en cuenta que esta convergencia no es uniforme, ya que $x$ puede ser quiite cerca de cero.

Así que la secuencia de funciones converge a cero, y la integral de cero es cero. Pero la integral de cualquiera de $f_n$ es en realidad (mediante el área bajo un triángulo es $1/2ab$) resulta ser de 1/2, por lo que el límite de las integrales de nuestra secuencia consigue cerca de cero.