La prueba de uniformidad de la continuidad de una función

Question

Demostrar que la función de $f(x) = \cfrac{x^2 + 5x - 7}{(x^2 - 9x + 8)(x-2)}$ es uniformemente continua en el intervalo $(3,5)$ (no con epsilon y delta)

¿Cómo puedo hacer esta pregunta? Estoy sentado en un examen, en una hora, y esto es probablemente similar a una de las preguntas que está en ella. Ayuda por favor

Answer 1

El denominador no se anula en el intervalo de $[3,5]$. Por lo tanto nuestra función es continua en el cerrado delimitado intervalo de $[3,5]$, y por lo tanto uniformemente continua en dicho intervalo. Así es uniformemente continua en a $(3,5)$.

Answer 2

Recuerde que

• Si $g$ es continua y su dominio es un intervalo cerrado $[a,b]$, $f$ es uniformemente continua (es un teorema que se puede encontrar en el Análisis Real de los libros);

• Si $g$ es uniformemente continua, entonces cualquier restricción de $g$ es uniformemente continua (se deduce de la definición de continuidad uniforme).

Ahora, observe que

• la función de $g:[3,5]\to\mathbb{R}$ $g(x) = \cfrac{x^2 + 5x - 7}{(x^2 - 9x + 8)(x-2)}$ es continua;

• su función $f$ es una restricción de $g$.