$f(n+1)=f(n)/2+1$ ; $f(1)=4$ La fórmula general para $f(n)$

Question

Como dice la pregunta, pero fíjate, como es una pregunta de secuencia (estoy tratando de encontrar la fórmula general de la secuencia $4,3,2.25,...$ ) suponemos que $n$ es mayor o igual que $1$ . Al principio, pensé que podría resolver esto como una serie geométrica, pero luego vi el "más $1$ ', lo que me hizo cambiar las cosas de arriba a abajo. ¿Conoces alguna forma de encontrar la fórmula general? Gracias por cualquier comentario o respuesta.

Answer 1

$$\begin{align}f(n)&=1+\frac12f(n-1)\\&=1+\frac12+\frac14f(n-2)\\&=1+\frac12+\frac14+\frac18f(n-3)\\\text{(induction)}&=\frac1{2^t}f(n-t)+\sum_{k=0}^{t-1}\frac1{2^k}\\&=\frac1{2^{n-1}}f(1)+\sum_{k=0}^{n-2}\frac1{2^k}\\&=2^{3-n}+2-2^{2-n}\\&=2+2^{2-n}\end{align}$$

Answer 2

Pista: busca una solución de la forma $f(n) = a + b r^n$ donde $a$ , $b$ y $r$ son constantes.

Answer 3

Poner $u_n=f (n)-b$ con $b $ tal que

$u_{n+1}=ku_n $ .

así

$$\frac {f (n)}{2}+1-b=k (f (n)-b) $$

de este

$$k=\frac 12 , b=2. $$

$$u_n=u_1 k^{n-1}=2(\frac {1}{2})^{n-1} $$ y

$$f (n)=2+u_n=2+2^{2-n}$$