Dos matrices complementarias de rango que se suma a la identidad del producto cero.

Question

Supongamos que $A$, $B$ son reales $n \times n$ matrices con $A + B = I$ y el rango A + rango B = n. Cómo puede uno demostrar que $AB = BA = 0$?

Answer 1

El problema se reduce a demostrar que si $A$ $n\times n$ real de la matriz, y $\operatorname{rank}(A)+\operatorname{rank}(I-A)=n$,$A-A^2=0$.

En primer lugar, utilizando la fórmula de $\operatorname{rank}(M)+\dim\ker(M)=n$ cualquier $n\times n$ matriz$M$,$\dim \ker (A)+\dim\ker(I-A)=n$.

Así que los subespacios propios $\ker A$ $\ker (I-A)$ span $\Bbb R^n$ (como su intersección es $\{0\}$).

Para $x\in\Bbb R^n$, escribir $x=y+z$ donde$y\in \ker A$$z\in \ker(I-A)$, y calcular el $A(I-A)x$.

Answer 2

Sugerencia: Tratar de demostrar que el $\Bbb R^n=im A\oplus imB$, incluyendo a $im A\cap im B=\{0\}$.