Muestra que dos escalar las variables aleatorias son independientes cuando sólo sus distribuciones son conocidos

Question

Supongamos que $X$ $Y$ son dos escalares variables aleatorias, y sólo conocemos sus distribuciones. ¿Hay alguna estrategia general para mostrar si o no estas dos variables aleatorias son independientes?

En particular, hemos $$\mathbb{P}(X \leq x) = \begin{cases} 1 - e^{-2x}, & x \geq 0, \\ 0 , & x < 0, \end{cases}$$ y $$ \mathbb{P}(Y \leq y) = \begin{cases} 1 - e^{-y}, & y \geq 0, \\ 0 , & y < 0. \end{cases}$$ Me siento como si me estoy perdiendo algo muy trivial. Si yo sabía que la articulación de la densidad o de la distribución del vector aleatorio $(X,Y)$ me podría comprobar si $$ \mathbb{P}((X,Y) \in (-\infty, a] \times (-\infty, b]) = \mathbb{P}(X \leq a) \mathbb{P}(Y \leq b) \ .$$ Sin embargo no estoy teniendo en cuenta esta información. Alguna idea? Me siento como si lo que yo estoy pidiendo es imposible.

Answer 1

Usted es de hecho correcta, con el fin de determinar si $X$ $Y$ es independiente necesita conocer la distribución simultánea. Conocer las distribuciones marginales no es suficiente.

Answer 2

$$ \Pr(Y \leq y) = \begin{cases} 1 - e^{-y}, & y \geq 0, \\ 0 , & y < 0. \end{cases} \tag 1 $$

Supongamos que lo que aparece arriba es verdadera y $X = Y/2$. Luego de ello se sigue que $$ \Pr(X\le x) = \begin{cases} 1 - e^{-2x}, & x\ge 0, \\ 0, & x<0, \end{casos} \tag 2 $$ (desde $X\le x$ si y sólo si $Y\le 2x$) y $X$ $Y$ son entonces tan lejos de independiente como dos variables aleatorias pueden ser: el valor de cada uno determina el valor de la otra, y la correlación es exactamente $1$.

Pero también es posible que $(1)$ $(2)$ a sostener y $X$ $Y$ a ser independiente.