Con la misma configuración, estoy buscando un discontinua $A$, que no es una tarjeta abierta, cualquiera puede sugerir cualquiera de estos ejemplos?
Que no existe. Si $A\colon X \to Y$ es un surjective lineal mapa, donde $X,Y$ son espacios vectoriales topológicos y $Y$ es finito-dimensional y Hausdorff, entonces $A$ es abierta, independientemente de la continuidad. Una forma de ver que es tener en cuenta que si vamos a reemplazar la topología en $X$ por un fino se vuelve más fácil para un mapa continuo, pero más difícil de abrir. Si queremos dotar a $X$ con el mejor espacio vectorial topología en $X$, $A$ es continuo, por lo tanto abierta por lo que usted sabe. Pero cada conjunto abierto en la topología en $X$ empezamos con está abierto en el mejor vector de la topología del espacio, de ahí su imagen en $A$ está abierto. Otra forma de verlo es considerar cualquier sección de $A$, que es lineal en el mapa de $S \colon Y \to X$ tal que $A\circ S = \operatorname{id}_Y$. Desde $Y$ es finito-dimensional Hausdorff, $S$ es continua. Pero para un conjunto abierto $U\subset X$ tenemos $A(U) = A(U + \ker A) = S^{-1}(U + \ker A)$, que está abierto por la continuidad de $S$.
Llegando a los ejemplos con los no-Hausdorff $Y$, vamos a $E$ denotar $\mathbb{R}$ dotado de la topología estándar, y deje $F$ denotar $\mathbb{R}$ dotado de la topología indiscreta. A continuación, $E$ $F$ son finito-dimensional topológicos, espacios vectoriales, por lo tanto también lo es $E\times F$.
Ad 1), podemos tomar la $\operatorname{id} \colon E \to F$. Es claramente continua y surjective, pero, por supuesto, no se abre.
Ad 2), podemos tomar la $\operatorname{id}\times \operatorname{id} \colon F\times E \to E\times F$. De nuevo, es claramente surjective, pero el primer componente no es continuo, de modo que todo el mapa no es continua, y el segundo componente no está abierto, lo que hace que todo el mapa no se abre.
Para el finito-dimensional caso, todos los ejemplos son algo similar a estos ejemplos, ya que cada finito-dimensional espacio vectorial topológico $\mathbb{R}$ es topológicamente isomorfo a $E^m\times F^n$ algunos $m,n\in \mathbb{N}$.
Para el infinito-dimensional caso, se puede modificar fácilmente los ejemplos (tomar un producto de Hausdorff y una indiscreta espacio).
Algo más interesante puede ser el siguiente ejemplo: supongamos
$$c_{00} = \bigl\{ f \colon \mathbb{N}\to \mathbb{R} \mid \bigl(\exists k\bigr)\bigl(n \geqslant k \implies f(n) = 0\bigr)\bigr\}$$
ser el espacio de todas las secuencias finitas de apoyo. Dotar con el subespacio de la topología inducida por tu favorito $\ell^p(\mathbb{N})$, y considerar el mapa de $A \colon c_{00} \to c_{00}$$(Af)(n) = 2^{-n}\cdot f(n)$. A continuación, $A$ es continua y bijective, pero no se abre. Si queremos dotar a la codominio con un grueso no Hausdorff topología, el mapa sigue siendo continua y no abrir.
